経験からですが、メモリ、BIOSのバッテリー等の接触不良も考えられます。
BIOSのバッテリーは電圧も重要です。

hir0さんの言われた様にisoとHDDのチェックをしてみましたが問題ありませんでした。
ですが念の為に最初とは違うサーバーからRemixCDのisoをダウンロードしてから焼き直して再インストールしてみました。
インストール後再起動してからキーリングのパスワード等を聞かれなくなり、挙動が少し変わったので直ったかと思われ
ましたが現象はかわりませんでした。

uotoraさんの助言も確認してますが、BIOSのバッテリーは最初に交感済みです。
メモリーも一応抜き差ししてメモリーテストをしてますが問題ありません。

ackさんの言われた様に、何処に問題があるのか確認してみました。
スクリーンセーバーを他の画像に切り替えても、ただのブランクに設定しても設定した時間でログアウトしてしまいます。
但し、スクリーンセーバーの設定を無効にするとログアウトする現象はなくなります。

どうやらGNOMEスクリーンセーバー側に問題がありそうです。
ログアウトした時に何かログが吐き出されてないか等確認したいと思います。

ハードウェアはこんな感じなのですが
IBM ThinkPad i-Series 1800  （型番 2655-PAJ)

      CPU : Pentium III-M 750Mhz
Memory : 256M
Video    :  S3 Savage  <--記憶が定かではありません

もしかしたらメモリーが２５６MBと動作ギリギリの容量なうえに、ビデオがメインメモリーから配分されるタイプだった
記憶があるので、この辺りが悪いのかもしれません。