インストールする前の段階で、そのようなメッセージがでるのでしょうか。
ダウンロードしたISOファイルのMD5は、サイトにあるものと一致していますでしょうか。

作成したDVD-Rからの起動時に、なにかキーを押すとディスクのチェックが選択できたかと思いますが、
ディスクのチェックを行い、DVD-R自体に異常が無いか(焼きミスが発生していないか)も確認してみて下さい。

ディスクチェックすら正常に実行できないとなると、メディアが読み出せていない可能性が高いと考えます。
ISOをDVDに焼くとき、セッションのクローズはされていますでしょうか。
Ubuntuをインストールしようとしている自作PCでは、なにか別のOSの動作実績や、なにかのインストールDVDなどを読み込ませて動作した実績はありますでしょうか。
CDとDVDとでは光学系が異なるドライブがほとんどのため、CD-RやCD-RWで試してみるのもよいかも知れません。

DVDのセッションのクローズについてはいかがでしたでしょうか。

Eleven-Lines による投稿:

前まではノートPCに外付けHDDを使ってブートするという形だったので、そこからブートさせれば起動し、動作します。

これはUbuntuをインストールしようとしているPCに、既にUbuntuがインストールされている外付けHDDを接続すると、外付けHDDにインストールされているUbuntuが起動する、という意味でしょうか。
もし、上記の理解で正しければ、PCのメモリやCPUなどについては問題なさそうですね。

Eleven-Lines による投稿:

他のCDについて：
Ubuntu10.04 Desktop Edition　失敗-BusyBoxの画面になる
Puppy Linux　失敗-インストーラが起動せず、コンソール画面になる
FreeBSD　成功(?)-インストーラが起動
という状態です。

ここはちょっと微妙な結果ですね。。
Ubuntu10.04 Desktop EditionはCD-Rでしょうか。
もし、これがCDならDVDでもCDでも正常に動作しないということになりますね。
一方でFreeBSDの方が、どこまで動作確認したかにもよりますが、それなりに動作しているようで、LinuxのDVDドライブの扱いに難がある可能性もあります。

1GBより大きいUSBフラッシュメモリで使えるものがあれば、LiveUSBメモリを作成して、それでインストールできるか試してみるのが良いかと思います。
仮にDVDドライブの動作が不安定だったにせよ、Linuxカーネルの問題であったにせよ、回避できる可能性が高いです。

もしくは、USB接続などの別のDVDドライブがあれば、それを試してみるのもよいかと思います。