組み立てのPCでマザーボードはASrockのH67DE3を、USBヘッドフォンはBAFFALOのBMHUH01SVAという電源のON/OFFできるものを使っています。

OS起動時にUSBヘッドフォンの電源がONになっていれば認識されるが、OS起動中(起動後)にONにしても認識されないということは、alsaというのは常にデバイスを読み込もうとしているわけではなく、OS起動時のみデバイスを読み込むようになっているということですよね？
つまりalsaが常にデバイスを読み込むように設定できれば問題が解決するということでしょうか。

返信ありがとうございます。
dmesgでそれらしきログを見つけました。

[ 2488.641994] usb 1-1.2: new full speed USB device using ehci_hcd and address 8
[ 2488.753798] input: C-Media USB Audio Device    as /devices/pci0000:00/0000:00:1a.0/usb1/1-1/1-1.2/1-1.2:1.3/input/input7
[ 2488.753950] generic-usb 0003:0D8C:0008.0005: input,hidraw4: USB HID v1.00 Device [C-Media USB Audio Device   ] on usb-0000:00:1a.0-1.2/input3
[ 2488.863089] cannot find the slot for index 0 (range 0-2), error: -16
[ 2488.863092] cannot create card instance 0
[ 2488.863096] snd-usb-audio: probe of 1-1.2:1.0 failed with error -5
[ 2488.863114] usbcore: registered new interface driver snd-usb-audio

何かしらエラーが出ているのはわかるのですが、これはどうういう意味なのでしょう？

その通りでした。
原因は/etc/modprobe.d/alsa-base.confで"options snd-usb-audio index=0"という風に固定してあることでした。
これは以前音が鳴らない問題で右往左往してるときに自分で書き込んだものです。
snd-usb-audioの認識順序を0にするのだから特に問題は無いかと放置しておいたのがこのような現象に陥るとは思いませんでした。

勉強になりました。助けていただいてありがとうございました。