順番を入れ替えさせていただきました。

p4m による投稿:

調べた環境を下記します。Intell(R) HD Graphics にACER V233Hのシングルモニタです。

honyarara@honyarara-desktop:~$ sudo lshw | grep -A 10 "Host bridge"
          description: Host bridge
          product: Intel Corporation
          vendor: Intel Corporation
          physical id: 100
          bus info: pci@0000:00:00.0
          version: 09
          width: 32 bits
          clock: 33MHz
        *-display UNCLAIMED
             description: VGA compatible controller
             product: Sandy Bridge Integrated Graphics Controller
honyarara@honyarara-desktop:~$ sudo lshw -short -class display
H/W path         Device      Class          Description
=======================================================
/0/100/2                     display        Sandy Bridge Integrated Graphics Controller
honyarara@honyarara-desktop:~$ lspci -nn |grep VGA
00:02.0 VGA compatible controller [0300]: Intel Corporation Sandy Bridge Integrated Graphics Controller [8086:0102] (rev 09)

Sandy Bridgeは比較的新しいハードウェアなので、10.04は基本的には対応していません。
なぜ10.04を使っているのかにもよりますが、可能であれば、
1. 12.04など新しいバージョンのUbuntuに入れ替える、または、アップグレードする
2. 10.04で利用できる、より新しいバージョンのbackportされたkernelをインストールして使う
のどちらかを試してみていただいた方が良いかと思います。

意外と、新しいkernelだとあっさり動いたりするかも知れません。
なんらかの理由で新しいkernelが使えない場合、xrandrで頑張ってみるしかありません。

p4m による投稿:

honyarara@honyarara-desktop:~$ xrandr
Screen 0: minimum 640 x 480, current 1280 x 1024, maximum 1280 x 1024
default connected 1280x1024+0+0 0mm x 0mm
   1280x1024       0.0*
   1024x768        0.0 
   800x600         0.0 
   640x480         0.0

となっているのを、（横に平べったく表示されています。）

honyarara@honyarara-desktop:~$ cvt 1920 1080 60
# 1920x1080 59.96 Hz (CVT 2.07M9) hsync: 67.16 kHz; pclk: 173.00 MHz
Modeline "1920x1080_60.00"  173.00  1920 2048 2248 2576  1080 1083 1088 1120 -hsync +vsync
honyarara@honyarara-desktop:~$ xrandr --newmode "1920x1080_60.00"  173.00  1920 2048 2248 2576  1080 1083 1088 1120 -hsync +vsync
honyarara@honyarara-desktop:~$ xrandr
Screen 0: minimum 640 x 480, current 1280 x 1024, maximum 1280 x 1024
default connected 1280x1024+0+0 0mm x 0mm
   1280x1024       0.0*
   1024x768        0.0 
   800x600         0.0 
   640x480         0.0 
  1920x1080_60.00 (0x11f)  173.0MHz
        h: width  1920 start 2048 end 2248 total 2576 skew    0 clock   67.2KHz
        v: height 1080 start 1083 end 1088 total 1120           clock   60.0Hz

とするところまで行ったのですが、その先が分かりません。

出力先が"default"という名前で認識されているようです。普通なら、
xrandr --output default --mode 1920x1080_60.00
とすると新しく追加したモードで画面表示できるはずなのですが、pclkが173MHzになっているため、モニタがDVI接続の場合はうまく動かない気がします。
cvt 1920 1080 60 -r
で得られるモードラインを使っていただいた方が確実かと思います。
もうひとつ気になるのは、Screenの最大サイズが、1280x1024と認識されている点ですね。
VirtualBoxの中で試したときなどは、最大サイズを無視してxrandrで新しい大きい解像度を指定しても、新しい大きい解像度で動作しましたが、実機でも同様の挙動となるかは未確認です。