早速のご返信ありがとうございます。
指定されたコードを入れてみました。
よろしくおねがいいたします。


ubuntu@ubuntu:~$ sudo parted -l
モデル: ATA PLEXTOR PX-128M5 (scsi)
ディスク /dev/sda: 128GB
セクタサイズ (論理/物理): 512B/512B
パーティションテーブル: gpt

番号  開始    終了    サイズ  ファイルシステム  名前  フラグ
1    1049kB  99.6MB  98.6MB  fat32                   boot
2    99.6MB  120GB   120GB   ext4                    msftdata
3    120GB   128GB   8247MB  linux-swap(v1)


モデル: I-O DATA USB Flash Disk (scsi)
ディスク /dev/sdb: 31.6GB
セクタサイズ (論理/物理): 512B/512B
パーティションテーブル: msdos

番号  開始    終了    サイズ  タイプ   ファイルシステム  フラグ
1    65.5kB  31.6GB  31.6GB  primary  fat32             boot, lba

GPTでもMBRでも起動できるようなので、今のままでも良いように思います。
(MBRに変えたければ、Gpartedから、当該のディスクを選んで、ディスク→「パーティションテーブルの作成」でできます(注: データは全て飛びます))

/bootが別に切ってあるように見受けられますが、パーティションの設定はどこかの情報を参照して、ご自身でされたのでしょうか?
ご自身でされたと仮定して話を進めますと(違ってましたらすみません)、
Linuxが初めてとのことですし、パーティションの切り方から、ディスクには何もデータは入ってないと見受けましたので、ひとまずは、
すべてインストーラーに任せる=「ディスク全体を削除してUbuntuをインストールする」
のが、確実にインストールできる方法かと思います。パーティションもとりあえず、適切に切ってくれます。
それでも動かないなら、BIOSのブート設定などが問題と問題を切り分けられますので。

ひとまずバージョンは何でも良いので、32ビット版か64ビット版のどちらを、どのようにインストールしたかの手順を教えてもらえますでしょうか。
手順としては、
1) ブート設定からUSBメモリを指定する際、何と書いてあるものを選んだのか、メモを取って確実に教えてください。
2) 実際のインストールは上のようにインストーラーにお任せでやってみてください。
3) 起動しない場合は、ブートの順番をBIOSで確認して、それもメモを取って確実に教えてください。

あくまで予想ですが、
UEFIでインストールしたのにBIOSブートしようとしているなど、
インストールした方法と起動の方法とが一致していないのだろうと思います。
上の1,3はそのためのものですので、よろしくおねがいします。

やはりそうでしたか。解決して何よりです。
UbuntuでUEFIでインストールについては、
https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Install/UEFI
に書いてありますね。
Windowsとの共存や2TB以上のディスクを起動ディスクとして使う(http://www.dosv.jp/feature/1103/18.htm)
といった話になると関係してくるのでしょうが(実際、私もあまり良く分かってないですが、困ったことはありません)、
まっさらのSSD(当然2TB以下)にインストールする場合はUEFIとか気にしなくていいので、今のままで良いと思いますよ。