Ubuntu のヴァージョンの記載が必須です。

システム設定確認しました。
「システム設定」（歯車とスパナのアイコン）ー＞「言語サポート」 で、日本語が一番上に来てますか？

はい。一番上に来ています。

「システム設定」（歯車とスパナのアイコン）ー＞「テキスト入力」 で、日本語が一番上に来てますか？
また、キーボード・アイコンをクリックすると、JIS106配列のキーボードが表示されますか？

はい。配列はJIS106の配列です。（ウインドウズを利用している時と同じ配列です。）

ubuntu20140813 による投稿:

システム設定確認しました。
「システム設定」（歯車とスパナのアイコン）ー＞「言語サポート」 で、日本語が一番上に来てますか？

はい。一番上に来ています。

「システム設定」（歯車とスパナのアイコン）ー＞「テキスト入力」 で、日本語が一番上に来てますか？
また、キーボード・アイコンをクリックすると、JIS106配列のキーボードが表示されますか？

はい。配列はJIS106の配列です。（ウインドウズを利用している時と同じ配列です。）

問題は見当たりませんね。

パッケージの再インストールですが、問題のない環境で、パッケージを再インストールするのであれば、トラブルことはあまりないのですが、問題を抱えた環境での実行は、何が起きるか予測つきません。
問題がこじれた時は、Ubuntu の、再インストールを覚悟して実行してください。
お勧め手順

１： パッケージを最新にする
（アップデートが正常に終わっている（できる）ことを確認する意味もあります）

sudo apt-get update
sudo apt-get upgrade

ここで警告、エラーが出た場合は、以下はやらないでください。

2: mozc と 入力関連のパッケージをリストし、再インストールする

dpkg -l | grep -E "mozc|fcitx|ibus" | awk '{print $2}' | sudo xargs apt-get install --reinstall

コマンドが行っていることの説明

dpkg -l ： インストールされているパッケージをすべてリストアップします。

grep -E "mozc|fcitx|ibus" :  上記リストから、 mozc か fcitx か ibus という文字列を含むパッケージを抜き出します。
　お使いのものが、ibus-mozc か fictx-mozc なのか分からないので、両方チェックします。
　日本語リミックス版の場合、両方入ってます。
　公式版の場合は、ibus-mozc です。

awk '{print $2}' ： 上記から、パッケージ名を抜き出します。
　grep から渡される文字列は
　　ii  mozc-server   1.13.1651.102-2ubuntu1~ppa1  amd64 Server of the Mozc input method
　と成っているので、2番目に有るパッケージ名だけを抜き出す。

sudo xargs apt-get install --reinstall ： awk で、抜き出したパッケージ名を、xargs でまとめ、apt-get の引数にし、再インストールします。