関係あるかどうかわかりませんが、Kernelのアップデートが来てたのでアップデートしたら入力出来る様になってました。
ただインライン入力出来ないみたい。
Fcitx XIM Frontendの設定で、XIMのOn The SpotはONに設定されてます。
別の要員で不具合再発？

同様の症状が出ています。

◆半角/全角キーで日本語入力(Mozc)が起動しない
　・Shift+Ctrl や 左Shift でも起動しない
◆マウスで Mozc を起動させても無変換で、半角英数しか入力できない

15.10 では日本語入力できたのですが。

yutarine による投稿:

おそらく以前私がEmacsでフォーラムに質問した内容と同じ原因(環境変数絡みの問題)だと思います。
Ubuntu日本語フォーラム / Ubuntu16.04上においてEmacs(GUI版)でfcitxによる日本語入力が出来ないことがある

フォローありがとうございます。
どうも同じ原因のような気がします。
# 環境変数を追いかける根性はありませんが。(^_^;

wine で某表計算ソフトを使っているのですが、
データの入力に fcitx-Mozc が使えるかどうか調べてみました。

[使える]
○ 端末から某ソフトを起動する(データファイル指定なし)
△ Dash からデータファイルを開く（開くソフトが指定できず、LibreOfficeで開く）

[使えない]
▼ Nautilus(=ファイル3.14.3)から某ソフトでデータファイルを開く
　（画面右上のアイコンクリック、入力メソッド、Mozc で Mozc起動するが、
　　Composition Mode を変更しても半角英数しか入力できない）
▼ Dashから某ソフトを起動する(データファイル指定なし)
　（同）

[開けない]
× 端末から某ソフトを起動する(データファイル指定あり)
　→パスの先頭１文字が削られて「ファイルがありません」となる
× Unityのランチャーから某ソフトを開く(アプリ単独)
　→起動せず（ランチャー上のアイコンが点滅したまま）
× Unityのランチャーから某ソフトを開く(データファイル指定あり)
　→起動せず（同）

fcitx-Mozc が使えなくなったのは ubuntu 16.04LTS からで、
Ubuntu 15.10 では使えました（が時々、変換結果が消えました。
しかたなく同時に gedit を起動して、入力・コピー・貼り付け、という使い方をしていました）。

端末から開くと回避できると分かったので前進です！　ありがとうございます。