ottan3104 による投稿:

ハードウェアは2004年ころのもので
CPU:Celeron 2.5GHz
MEM:1.2GiB
HD:80GB 7200回転
グラフィックボードはありません。

スペックから、軽いデスクトップ搭載を搭載した Lubuntu 16.04 32bit版 が良いかと思います。
Ubuntuのデスクトップを、LDXE に変更したものです。（使い勝手は落ちます）
これで、だめなら、根本的に軽量化されたディストリビューションを選択することになるかと思います。

参照： http://no-windows.blog.jp/archives/27406490.html