こんばんは。
Ubuntu 16.10のサポート期間は9ヶ月（2017年7月まで）ですので
ダウンロードはできないと思います。
バックアップがなければ、再インストールが必要になるかと思います。

今後については、
最新バージョン/長期サポートバージョン(LTS)や
バックアップも検討してみてください。

Ubuntu 16.10 の頃は GNOMEではなくて  Unityデスクトップが使われてました。
「システム設定」は unity-control-center だったのではありませんか?

よく理解しないまま間違った修復法を試みるより、
現行サポート中の新しいバージョンで「Ubuntuを試す」だけでも触ってみることをおすすめします。

以下のバージョンなら、現在サポートの日数が残っています。

$ date ; distro-info -f --supported -yeol
2023年  5月  2日 火曜日 03:15:04 JST
Ubuntu 18.04 LTS "Bionic Beaver" 30
Ubuntu 20.04 LTS "Focal Fossa" 759
Ubuntu 22.04 LTS "Jammy Jellyfish" 1492
Ubuntu 22.10 "Kinetic Kudu" 80
Ubuntu 23.04 "Lunar Lobster" 269

#5 nomurart による投稿:

Could not create MoKListRT:Volume Full
Could not create MoKListXRT:Volume Full
Could not create SbatLevelRT:Volume Full

Something has gone seriously wrong: import_mok_state() failed:Volume Fll

過去のクラッシュでEFI variable にゴミが溜まり、追加登録ができない状態を疑います。

参考:
GRUB で EFI への登録に失敗したら…: Aiming Off のブログ
http://aimingoff.way-nifty.com/blog/2018/05/grub-efi-d43b.html


プランA.    「端末で」

sudo rm /sys/firmware/efi/efivars/dump-*

を実行する。
プランB.    UEFI設定画面で 設定を出荷時の状態にリセットする。
プランC.    セキュアブートを無効に設定する。

A., B., C., を一つづつ実行して どれかでUbuntu 22.10 が起動できるようにならないか
試してみてください。

今やれる事をやってみてのUbuntu更新についての結論です。

プランAですが、/sys/****/efivars/の中にdump-typeのファイルは一つもありません。
但しファイル数が８０強あり不要なファイルが邪魔しているのかもしれません。

プランBですが、UEFI設定で出荷時の状態にリセットするということは、
PCがどうしようもない状態になっての最後の手段！みたいな気がします。

したがって現状維持に落ち着きました。
今、Ubuntu16は気難しい所もあるけど使えます。
更新したい気持ちになったらプランBを実施しようと思います。

そして結果を報告します。