https://gihyo.jp/admin/serial/01/ubuntu-recipe/0746
によると、update-grub は、単なる「grub-mkconfig」のラッパーで、

cat $(command -v update-grub)

で、表示すると

#!/bin/sh
set -e
exec grub-mkconfig -o /boot/grub/grub.cfg "$@"

となっており、/boot/grub/grub.cfg を吐き出すようです。
（Ubuntu23.04.1で確認）
GPT-UEFI boot の場合、
/boot/efi/EFI/ubuntu/grub.cfg
を読みに行くと思う。
確認してみてください。

/etc/default/grubはタイムアウトの時間を5に変更し、update-grubを実行済みです
root@pc1:~# cat /etc/default/grub|grep GRUB_TIMEOUT=
GRUB_TIMEOUT=5

UEFIモードでインストールしているので/boot/efi/EFI/ubuntu/grub.cfgを見てみると、このようになっていて、prefix=とかconfigfileの行をみると/boot/grub/grub.cfgを参照しているように見えます。
root@pc1:~# cat /boot/efi/EFI/ubuntu/grub.cfg
search.fs_uuid 1c9a7c4b-22b2-4a5e-844c-2cbcd74e4cb1 root
set prefix=($root)'/@rootfs/boot/grub'
configfile $prefix/grub.cfg

そして/boot/grub/grub.cfgのタイムアウトが設定されていそうなところをみるとupdate-grubが生成した設定ファイル側もきちんと変更されているように見えます。
root@pc1:~# cat /boot/grub/grub.cfg|grep "set timeout"
  set timeout=30
    set timeout_style=hidden
    set timeout=5
    set timeout=0
  set timeout=30
    set timeout_style=menu
set timeout_style=menu
  set timeout=10

gb8192 による投稿:

/boot/grub/grub.cfgを直接書き換えてはいけないようですが、
実際に/boot/grub/grub.cfgのこのあたりのset timeout=30をset timeout=5にしたところ5秒になりました。
if [ $grub_platform = efi ]; then
  set timeout=30
  if [ x$feature_timeout_style = xy ] ; then
    set timeout_style=menu
  fi
fi

/etc/default/grubのGRUB_TIMEOUTの値を書き換えて、update-grubを実行してみても、
上記で説明した部分のset timeout=30が書き換わらないです。（set timeout=30はこれ以外にも複数の条件分岐の中に存在します）

設定の方法に問題があるか、または、grubのバグなのでしょうか？

小生のPCで、下記ページを参照し

https://gihyo.jp/admin/serial/01/ubuntu-recipe/0743

/etc/default/grub
GRUB_TIMEOUT_STYLE=menu
GRUB_TIMEOUT=５
とし、update-grub すると、メニューが表示され、５秒で起動ルーチンに移行しました
ただし、このPCは、Ubuntu単独ブートです

通常の方法でext4でインストールしたUbuntuの/boot/grub/grub.cfgには↓はありませんでした。
if [ $grub_platform = efi ]; then
  set timeout=30
  if [ x$feature_timeout_style = xy ] ; then
    set timeout_style=menu
  fi
fi

これは/etc/grub.d/00_headerというテンプレートから生成されているようです。
update-grubを行ったとき、先ほどのif [ $grub_platform = efi ]; thenのコードが出力されないためにはrecordfail_brokenには1ではない値が設定されているべきです。（ext4で正しく動作してるマシンではそうなっているのではと考えられます）
if [ "$recordfail_broken" = 1 ]; then
  cat << EOF
if [ \$grub_platform = efi ]; then
  set timeout=${GRUB_RECORDFAIL_TIMEOUT:-30}
  if [ x\$feature_timeout_style = xy ] ; then
    set timeout_style=menu
  fi
fi
EOF
fi

これとよく似た事象について探してみると
http://www.asheiduk.de/post/grub-efi-install/
がみつかりました。
このページの真ん中のくらいのところにある、以下のコマンドを試したところ、以降のupdate-grubではきちんと設定されるようになりました。
cd /boot

# make backups
mv grub grub-bak
mv efi/EFI/ubuntu efi/EFI/ubuntu-bak

# prepare location
mkdir -p efi/EFI/ubuntu/grub
ln -s efi/EFI/ubuntu/grub

# install grub & regenerate config
grub-install
update-grub