subzero　様
早速のレスポンス、有難うございました。・
①sudo grub-installは、sudo grub-install /dev/sdaなどとディスクにインストールしてますでしょうか？
→はい。確かに/dev/sda にインストールしておりました。
また、インストーラで /boot を選ばる場合は、/bootへインストールしておりました。

②また、sudo parted -l でPartition Table:msdosとなっていますでしょうか？これが:gptだとレガシーBIOSだと起動しないようです。
→その後、Lubuntu24.04 をこのPC(富士通 Lifebook AH40/H)にインストールしても
OS選択画面になってしまいまうので
subzero様がご教示頂いた gparted を、別のLive環境
(Ventoy経由で Mint20 Cinnamon)で実行したところ…

/dev/sda ⚠　　

となっており、インストールソフト上で設定したはずの…
/dev/sda1    ext4   /boot   
/dev/sda2    ext4   /
/dev/sda3    ext4   /var
…の構成が、Liveメディア(DVD)のgparted 画面では全く反映されておりませでした。
しかしながら/dev/sda1/ や /dev/sda2 の中身には
$ sudo ls -l /dev/sda1
で見てみると、フォルダやファイルが入っておりますので
何故にgpartedでインストーラーの設定が反映されずに、⚠マークが出てしまっているか
引き続き他のディストリビューションの場合も含めて、
もう少し原因を探ってみたいと思います。

kicknoskie による投稿:

何故にgpartedでインストーラーの設定が反映されずに、⚠マークが出てしまっているか

この点についてだけですが、私もgparted で⚠マークが出た事あり、その時は、小さなパーティションAを大きなパーティションBへとコピーした時だったのですが、B-A=Cの部分が未処理の領域として残った為に⚠マークが出たようでした。

何かしらパーティションに異常があるのかもしれません。

（私の場合の時は、対応として、gpartedを開いて、パーティション上で右クリックしてcheckを選んでから、変更を適用する✓をクリックすれば修復されたと記憶しています。）

【御礼】　やっとＨＤＤから起動いたしました！！！！

皆様のUbuntu(思いやり/humanity for others)のお陰様をもちまして、
無事にインストール後にHDDから起動することが出来ました！！
本当にありがとう御座いました。　ほんま、ほんま、おおきに(^j^)
ウーーーブントゥ♪　Uuuuuuuuu Bun TU〜♪♪♪

＜試したこと＞
以前にも インストールが上手く行かない、という記事がいくつかあり、
その中で特に h130884 様が
https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?id=22167
のトピックで、似た様な症状でお困りであることから……

1.Mint22やLubuntu24等のライブDVD起動上で、事前にパーティーションを作成しました。
$ sudo fdisk /dev/sda

o でdos指定

nでMBRのパーティションを作る
/boot (624BM)
/  (任意の数値)
/var (任意の数値)

aでブートフラグを/dev/sda1 に立てる

2.パーティーション作成後に、事前にext4でファイルシステムを設定しました。
$ sudo mkfs.ext4 /dev/sda1  〜 sda3か4も

上記の 2 の工程までを終えたHDDに、ライブ環境からインストールをしましたが、その際には
インストーラーにHDDを初期化やフォーマトさせず、ファイルシステムだけをインストールさせました。
MBRのインストール先も、bootフラグが立っているパーティーションを指定しております。

3.それでも…メーカーロゴ→起動順序の画面、になってしまったので、Live環境で再起動後
Mint20 のBoot Repairツールで、インストール済のHDDに対して
ＭＢＲだけ(←ココ重要！)を修復してみました。(Grub再インストールは行なっておりません。)

再起動してみると……
よーーーーやくメーカーロゴの跡に、ちゃとHDDから起動出来ました！
いやー嬉しかったですねぇ (^▽^)

(別のHDDを工程1の段階で、/boot ディレクトリを作らず、/dev/sda1 の開始セクタから / にして、
そこへbootフラグを立てた環境にインストールをしても、後で無事にHDDから起動出来ました。)
(MX Linux20 の場合は　上記2までの工程で、HDDから起動することが出来ました)

＜インストールを試したOS＞
Lubuntu24.04 (DVD-RWメディア)  Linux Mint 22 (DVD-RWメディア) 
MX Linux-21(Ventoy経由、Nomal起動)
(Boot Repairに限り、Vemtoy仕様のUSBから、Mint20を利用しました)

※今後も Zorin OS や Manjaroo そしてDebian12 もＭＢＲ構成(←ココ大事！)で
試してみようと思います。

+++ 返信の部 +++
＞subzero　様
いち早くレスをつけて下さり、ありがとう御座いました。
その後 gparted がLubuntu24ライブになかったので、Mint22をインストール後に起動しなかった環境で、
Lubuntu24ライブ上から KDEパーティーションで/dev/sdaを覗いた際に、
インストール自体は上手く行っていた様に見受けられ、⚠マーク等は表示されませんでした。
またgparted に、右クリックで簡易修復が出来る機能があったとは知りませんでした。

＞elliptic　様
大変詳しい解説を、有難うございました。
1.実は何度か LinuxMintのliveモードで boot-repairを試みたのですが、上手く行かなかった経験が
　かつで御座いました。(それで今回 MBR 修復だけを試みてみよう…、という案が思いつきました。)　
2.grub> で、/etc/grub/grub.cfg と書いたのは小生の文章違いでした。
3.GPT対応非対応かはBIOS次第、である旨も、とてもよく納得できました。
　今までGPTでインストール後 OS選択画面になってしまった場合は、インストールメディアから起動し
　boot=caspar の欄を　root=/dev/sda?(← / があるHDDのパーティーション番号) に書き換えれば、
　間接的ではあれどHDDから起動をしてました。
　しかし、MBR 構成にした方がいいだろう、と確信を持てたのは、elliptic様をはじめ、他のトピックス記事も
　あれこれ参考にた結果でございました。
4.grubについても、セクタ1〜2047 にコア部分があり、これがそもそもBIOSから読み込めていない状態、と、
　改めてelliptic 様がご教示下さったお陰様にて、grubの理解が深まりました。
5.またBIOSのAHCIが grubコアに何ら影響しない(？)点も勉強になりました。

＞ubuntu-linuxer 様
レスポンス、有難うございました。
お名前からお察ししますところ、本当に各種様々なPCでのLinuxのご経験があるとお見受け致します　(^▽^)

(1)gparted について
ライブDVDのソフトの中に入っていなかったので、gpartedソフトは使っておりません。
しかし、事前にパーティーション作成＆EXT4を作るのがいいだろう、と判断していたので、
gdisk ではなく　あえて fdisk コマンドでインストール前のHDDを、工程1に記した内容でHDDを仕込みました。
ご教示頂いた  select new partition table type = msdos と同じ工程も御座いますね。

(2)物理メモリについて
小生が今回、どうしてもこの 富士通Lifebook AH40/H にLinuxをインストールしたかった理由が、何を隠そう、
実は古いPCでも物理メモリが 8GBを搭載出来たから…　というのも御座いました (^^;) 
逆に4GB での環境はまだ未経験なので Lubuntu24.04 が4GB に非対応なのは存じませんでした。
貴重な情報を感謝致します。

(3)Ubuntu24.04 について
今回の事象…… HDDからインストール後に起動しない、もしくは暗転後に再起動の繰り返し……という原因が、
BIOS からgrubの読み込みが上手く行かない、と睨んでおりましたので、Linux Mint20の boot-repair　で、
まさしくMBRだけを修復してみる、という作戦に漕ぎつけました。
幾つかインストールを試してみましたが、MBR構成のHDD へ Lubuntu24 が入ったのは、MBRを重視したのが
功を奏したのかもしれませんね。

最後までお読み下さり有難うございました。  m(_|_)m