自分のところでも、昨日の昼前にアップデートしたのち、夜にPCを起動しようとすると起動できない(モニタが入力信号無しの表示
を出しており、操作できない)状態になっていました。
ctrl+alt+delで再起動はかかるので死んではいなかったようですが。。
リカバリーモードでは起動したので、もう一度、システムの更新をかけると何事もなかったかのように動き出しました。
が、そちらではリカバリーモードでも起動しないとのことなので、ちょっと大変そうですね。
もし、PCがもう一台あって、動かなくなったという方のUbuntuシステムにsshなどでログインできる状態になっているのであれば、そこからログインして復旧できるかも知れません。
他の方法としては、そちらでの「起動できない」というのが、具体的にどのような症状なのかにもよりますが、LiveCDなどのインストールメディアから起動してログを調べて異常を起こしている原因を突き止めることが必要かと思います。
(多分こちらで起きていたと思われる)パッケージの依存関係が一時的におかしくなっている、などの現象であれば、
https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Others/RepairMbrWithGrub
に沿って"/"を変えて起動して、システム更新すれば動くようになるのかなぁ、と思ったりしますが、逆におかしなことにならないかという心配もあるので、もしやるならシステム再インストールすることになっても構わないぐらいの心持ちでお願いします。

なにはともあれ、まずはLiveCDなどから起動して、必要なデータのバックアップを取って下さい。

ここで、「boot=casper」を「root=/dev/sda1」などと書き換えて

ここの/dev/sda1はインストールした状況によって変わりますが、その辺りは大丈夫でしょうか。
HDDが複数台あったり、他のOSとのデュアルブート環境などでは、sda1では無いところにUbuntuがインストールされていたりしますので、パーティション構成を確認してみて下さい。
設定に関しては、システムワイドな設定はほとんどすべて/etcに入っています。
またユーザ設定に関しては、ホームディレクトリ以下のドットファイルやドットディレクトリに入っています。ので、ホームディレクトリ毎バックアップしておけば大丈夫でしょう。

で、バックアップはとれたとしてですが、原因の調査や復旧作業を行える目処はつきそうでしょうか。案としては、
1. sshログイン
2. LivdCDからroot指定で起動
があるかと思います。
まずは、原因調査だけなら、普通にLiveCDから起動してもよいでしょう。

昨日のこちらの状況を、改めて確認してみたところ、
Apr 17 22:13:53 showtime kdm[904]: X server startup timeout, terminating
Apr 17 22:13:53 showtime kdm[904]: X server died during startup
Apr 17 22:13:53 showtime kdm[904]: Failed to start X server. Starting failsafe X server.
あたりがsyslog.1に残っていました。
実際にはFailsafe X Serverが起動しなかったのですが。Xに問題があったのかな。。

パーティション構成の確認もかねて、まずは、LiveCDで起動して、
$ sudo fdisk -l
したり、
/var/log以下のログファイルを当たってみてはいかがでしょう。

hmatsue による投稿:

ここで、「boot=casper」を「root=/dev/sda1」などと書き換えて

ここの/dev/sda1はインストールした状況によって変わりますが、その辺りは大丈夫でしょうか。
HDDが複数台あったり、他のOSとのデュアルブート環境などでは、sda1では無いところにUbuntuがインストールされていたりしますので、パーティション構成を確認してみて下さい。
設定に関しては、システムワイドな設定はほとんどすべて/etcに入っています。
またユーザ設定に関しては、ホームディレクトリ以下のドットファイルやドットディレクトリに入っています。ので、ホームディレクトリ毎バックアップしておけば大丈夫でしょう。

で、バックアップはとれたとしてですが、原因の調査や復旧作業を行える目処はつきそうでしょうか。案としては、
1. sshログイン
2. LivdCDからroot指定で起動
があるかと思います。
まずは、原因調査だけなら、普通にLiveCDから起動してもよいでしょう。

昨日のこちらの状況を、改めて確認してみたところ、
Apr 17 22:13:53 showtime kdm[904]: X server startup timeout, terminating
Apr 17 22:13:53 showtime kdm[904]: X server died during startup
Apr 17 22:13:53 showtime kdm[904]: Failed to start X server. Starting failsafe X server.
あたりがsyslog.1に残っていました。
実際にはFailsafe X Serverが起動しなかったのですが。Xに問題があったのかな。。

パーティション構成の確認もかねて、まずは、LiveCDで起動して、
$ sudo fdisk -l
したり、
/var/log以下のログファイルを当たってみてはいかがでしょう。

ありがとうございます。
確かにデュアルブート環境でしたが、/dev/sda~に関してはきちんと当方の環境に合わせて入力しました。
先ほどご報告致しましたとおり、解決致しました。
お手数をおかけしました。