Xubuntu 10.04(i386)上ではOpera 10.60で異常は無いですね。
しかしながらKubuntu  10.04(amd64) + PPAからのKDE4.5環境では検索ウィンドウへの日本語入力中、候補ウィンドウが表示されると続きの日本語が入力できなくなることがあります。

9.10とは差分が多すぎて絞り込めませんが、直感的にはQtライブラリのバージョンなどによる差のような気がします。
以前のOperaでは問題なかったのであれば、そちらを使うことにするか、リリースノートなどを参照し、問題なさそうであれば、10.04環境に変えてしまってはいかがでしょうか。
# マシンは以前のwubiのものでしょうか。
# そうであればデータ類をどこかにバックアップして、10.04のwubiで再インストール後、
# データの書き戻しという面倒臭いことをやらないといけないのがネックですが。。

Operaのバージョンはどのようになっていますでしょうか。
「10.60.6368」ではIMEからして反応しませんでしたが「10.60.6386」に更新したところ問題なく入力されるようになりました。確認したのは「Ubuntu 10.04、Ibus-Anthy、SCIM-Mozc」「Ubuntu 9.04、SCIM-Anthy」です。

（独り言：10.60のはずなのに何故かOperaを起動するたびに「バージョンアップできますよ」というダイアログが出ておかしいなと思っていたら、APTラインが「opera-beta」になっていた…。アップデートされなかったわけだ）

ちなみに、バージョン10.5xからはQt固定依存ではなくなりました。新UIはGNOMEならGTK、KDEならQtを使用するようになっているようです。

最近(10.60ぐらいからだったような)operaのパッケージ名からqt3とかqt4の文字が抜けて、qt4に一本化されたのかと思っていたら、そんなすごいことになっていたとは。。
operaが起動していない状態で、端末で、
$ opera --full-version
とやると、どのツールキットが使われるか表示されるようです。
また、operaを起動してURL欄に
opera:config
と入れるとoperaの設定画面が開かれ、~/.opera/operaprefs.iniの内容が編集できます。
そうすると、ツールキットになにが使われるかを選択でき、
[File Selector]
Dialog Toolkit=1
のような項目が追加されます。
0:自動選択、1:Qt?(なぜかうちではnative X11になりました)、2:Gtk、3:KDEらしいです。
以前のバージョンのoperaで問題無かったのであれば、このあたりを変えて試してみると、正常に動作するものが見つかったりしないかな、と期待します。

File SelectorのDialog Toolkitの値をいくつか変えてみました。
0 : Gtk 2.18.3
1 : KDE 4.3.2
2 : Gtk 2.18.3
3 : KDE 4.3.2
といった設定でしたが、どれを試してみても症状が改善されることはありませんでした。

ただ、別のユーザーからでは正常に漢字変換できました。

あと、Operaの設定ファイルがある「~/.opera」フォルダの名前を変更してみてください。

う〜ん、結構根深い問題なのだろうか。
とりあえず問題はIbusとD-Bus辺りに絞られたんではないかと思うのですが…。
Ibusの設定を初期化してもよろしければ以下をしてみてください。

ログイン画面でログインせずに「Ctrl+Alt+F2」キーで仮想コンソールへ切り替えてログインし、下記コマンドを実行。

gconftool --recursive-unset /desktop/ibus
rm -r .config/ibus
rm -r .cache/ibus
exit

そして「Ctrl+Alt+F7」キーでログイン画面に戻ってログインする。

これでもダメとなるとちょっと私にはわからないので、他の方からのアドバイスをお待ちいただくことになると思います。

（最悪手であるユーザー領域の設定を全消去というやり方も有りかもしれません。別のユーザーでは正常に入力されるということなので、既にユーザー環境がおかしくなっているという見方もできなくはなく、或いは最善手と成り得るのでは、という考えです。が、どうしてもOpera 10.60を使いたい場合の最終手段として考えてください）