Synapticパッケージマネージャは、バックグラウンドでaptを使ってパッケージの取得をしているので、
aptにプロキシの設定を行う必要があります。

/etc/apt/apt.conf をエディタで開いてください。sudoを使う必要があります。

sudo gedit /etc/apt/apt.conf

以下の行を追加してください。IPアドレスとポート番号は、プロキシサーバのものを記述してください。
不明な場合は、自動構成スクリプトの中を見るか、管理されている方に聞くと分かると思います。

Acquire {
http::proxy "http://IPアドレス:ポート番号/"
}

編集後、以下のコマンドを実行してください。

sudo apt-get update

これでエラーが発生しなければ、Synapticパッケージマネージャを使ったパッケージの追加や
アップグレードができるようになっているはずです。

Synapticでは、どういったエラーが表示されますか？

407 Proxy Authentication Required
というエラーメッセージが出ます。

お使いのプロキシサーバへのアクセスに、ユーザ名とパスワードが
必要なようです。
以下のように、apt.confに追記すると良いと思います。

Acquire {
http::proxy "http://ユーザ名:パスワード@IPアドレス:ポート番号/"
}

亀レスですが....

たなちゅうさんの使用されているネットワーク環境の運営ポリシー次第では、「proxyの認証ID/Passwordを教えてくれ」という直球では「No」と返されて当然かもしれません。というのも、アクセス制限をするにあたっては多くの場合

- 認証をしなくてもアクセスできる相手サイト・自ネット端末（またはそれらの組）
- 認証をしないとアクセスできない相手サイト・自ネット端末（またはそれらの組）

と言った具合にアクセス制御をfrom/to/portなどの組合わせで、リストにしたり、グループにしたりというやりかたで管理しているからです（ACL:Access Control List）。

なので、これを利用できるようにするには、たなちゅうさんが

- どういう目的で
- どのPCから
- どこのサイトへ

というのを明確にして、管理者にたなちゅうさんのPCがセキュリティポリシーによって設定されている例外として認めてもらうとか、あるいは業務として全般的にsynapticやaptitudeがアクセスするftp/httpサイトへのアクセスを開放してもらうように働きかけるとか、でないとダメでしょう。とにかく、業務で使われているならその必要性と妥当性と制限緩和の範囲を明確にしてあげないと、管理者も困る訳で。

おっしゃるようなセキュリティポリシーをかっちりされている組織内であれば、おそらくどこかでその運用ポリシーを読めるようにしていたりとか調整窓口担当を設けていたりとか調整手順はどうなっているかとか定めていると思います（定めてないとしたらそんな「ポリシー」はちょっと困ったもんです）。玉の投げかたを変えて交渉されてはどうでしょうか。