情報が不足しているようで失礼しました。
以下追記です。

HP ProDesk 405 G6 DM
カーネル 5.15.0-53

8168はよくわかりませんが以下のものがコンソールで帰ってきたので入ってるかと思います。
lsmod | grep r8168
r8168                 552960  0

有線ケーブルが認識されないもののwifiは普通に使えます。
同じPCでubuntu22.04, 22.10双方試しましたが両方有線が認識されませんでした。
他のPCであれば認識されるのでケーブルには問題なさそうです。

以下、ネット上で出てきた役に立つ情報を提供してくれそうなコマンドがを、よくわからないものの貼ってみます。

ifconfig 
eno1: flags=4099<UP,BROADCAST,MULTICAST>  mtu 1500
        ether b0:22:7a:ef:c1:34  txqueuelen 1000  (イーサネット)
        RX packets 0  bytes 0 (0.0 B)
        RX errors 0  dropped 0  overruns 0  frame 0
        TX packets 0  bytes 0 (0.0 B)
        TX errors 0  dropped 0 overruns 0  carrier 0  collisions 0
        device interrupt 35  base 0x1000 

lo: flags=73<UP,LOOPBACK,RUNNING>  mtu 65536
        inet 127.0.0.1  netmask 255.0.0.0
        inet6 ::1  prefixlen 128  scopeid 0x10<host>
        loop  txqueuelen 1000  (ローカルループバック)
        RX packets 2915  bytes 825710 (825.7 KB)
        RX errors 0  dropped 0  overruns 0  frame 0
        TX packets 2915  bytes 825710 (825.7 KB)
        TX errors 0  dropped 0 overruns 0  carrier 0  collisions 0

tun0: flags=4305<UP,POINTOPOINT,RUNNING,NOARP,MULTICAST>  mtu 1441
        inet 10.1.18.7  netmask 255.255.255.0  destination 10.1.18.7
        inet6 fe80::b04d:6673:780e:94b3  prefixlen 64  scopeid 0x20<link>
        unspec 00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00  txqueuelen 500  (不明なネット)
        RX packets 229179  bytes 273101426 (273.1 MB)
        RX errors 0  dropped 0  overruns 0  frame 0
        TX packets 52051  bytes 6004300 (6.0 MB)
        TX errors 0  dropped 0 overruns 0  carrier 0  collisions 0

wlp3s0: flags=4163<UP,BROADCAST,RUNNING,MULTICAST>  mtu 1500
        inet 192.168.50.16  netmask 255.255.255.0  broadcast 192.168.50.255
        inet6 fe80::cab7:f012:82fd:26bf  prefixlen 64  scopeid 0x20<link>
        ether 70:9c:d1:e9:a6:c4  txqueuelen 1000  (イーサネット)
        RX packets 235033  bytes 294569185 (294.5 MB)
        RX errors 0  dropped 0  overruns 0  frame 0
        TX packets 52540  bytes 10427078 (10.4 MB)
        TX errors 0  dropped 0 overruns 0  carrier 0  collisions 0


sudo lshw -c network
  *-network                 
       詳細: 無線インターフェース
       製品: Wi-Fi 6 AX200
       ベンダー: Intel Corporation
       物理ID: 0
       バス情報: pci@0000:03:00.0
       論理名: wlp3s0
       バージョン: 1a
       シリアル: 70:9c:d1:e9:a6:c4
       幅: 64 bits
       クロック: 33MHz
       性能: pm msi pciexpress msix bus_master cap_list __________________ physical wireless
       設定: broadcast=yes driver=iwlwifi driverversion=5.15.0-53-generic firmware=66.f1c864e0.0 cc-a0-66.ucode ip=192.168.50.16 latency=0 link=yes multicast=yes wireless=IEEE 802.11
       リソース: irq:31 メモリー:fc600000-fc603fff
  *-network
       詳細: イーサネット interface
       製品: RTL8111/8168/8411 PCI Express Gigabit Ethernet Controller
       ベンダー: Realtek Semiconductor Co., Ltd.
       物理ID: 0.1
       バス情報: pci@0000:04:00.1
       論理名: eno1
       バージョン: 29
       シリアル: b0:22:7a:ef:c1:34
       容量: 1Gbit/s
       幅: 64 bits
       クロック: 33MHz
       性能: pm msi pciexpress msix bus_master cap_list __________________ physical tp 10bt 10bt-fd 100bt 100bt-fd 1000bt-fd autonegotiation
       設定: autonegotiation=on broadcast=yes driver=r8168 driverversion=8.049.02-NAPI latency=0 link=no multicast=yes port=twisted pair
       リソース: irq:35 IOポート:2000(サイズ=256) メモリー:fc509000-fc509fff メモリー:fc504000-fc507fff

syogun による投稿:

tun0: flags=4305<UP,POINTOPOINT,RUNNING,NOARP,MULTICAST>  mtu 1441
        inet 10.1.18.7  netmask 255.255.255.0  destination 10.1.18.7

トンネル掘られているので、vpn とか導入されてませんか？
多分、ルートが未設定なだけのような気がします。