少し前に同様な事象で、対策しました。
http://baniko.seesaa.net/article/115234467.html

Google EarthによりインストールされているQtを使わなければ、OKです。

kudo による投稿:

./googleearth-bin: error while loading shared libraries: libQtCore.so.4: cannot open shared object file: No such file or directory
のようになってしまいます

Qtを使わないようにするにはどのようにしますか

No such file or directory なので、libQtCore.so.4が見当たらない、というメッセージが出ています。

この対策はQtを使わないようにするのではなく、GoogleEarth付属のQtを使えなくして、Ubuntu標準のQtライブラリを使わせるようにするものなので、
Ubuntuのリポジトリから取って来たQtがシステムに入っている必要があります。

libQtCore.so.4
libQtGui.so.4
libQtNetwork.so.4
の名前を変えたので、

libqtcore4
libqtgui4
libqt4-network

を、パッケージマネージャでインストールしておけば良いように見えます。
※libqt4-xml や libqt4-dbus もあった方が良いかな・・・？