$ dpkg -l | grep パッケージ名

パッケージ名 ＝＞    mozc   や  mo   等でインストールしたパッケージが表示されるか確認してみてはどうでしょうか。

早速のお返事ありがとうございます。
hir0さんのご意見いただいて、dpkgコマンドでためしてみましたところ、以下のようでした。

ii  ibus-mozc                            0.12.402.102                                    IBus engine module for Mozc.
ii  mozc-server                          0.12.402.102                                    Server part of the Mozc input method, used b
ii  mozc-utils-gui                       0.12.402.102                                    Mozc GUI uitilities, such as the configurati
ii  scim-mozc                            0.12.402.102                                    SCIM IMEngine module for Mozc.

vbkさんの予想通りにibus、scimともにインストール済みのようです。
これから、リポジトリの追加を試してみます。

リポジトリの追加、PPA、OpenPGPキーと知らないことばかりですので、既に道に迷った感はありますが・・・。
ですが、こうやって少しずつ何となくわかっていくものだと思って頑張ってトライしてみます。

>mozc はすでに導入されていますので、言語サポートで iBus(もしくは scim) を選択したのち、
システム->設定->iBusの設定で、インプットメソッドタブを開き、

はい、ここまではやっておりますが、問題はこの後の、

＞インプットメソッドの選択から日本語 Mozc を選択する。
追加ボタンで Mozc を追加、上へボタンで Mozc を一番上にし、デフォルトのインプットメソッドにする。

ここで、Mozcを選択するにも表示されていないのです。

皆様、ご丁寧にありがとうございます。
下記のとおり実行してみました。

    $ sudo add-apt-repository ppa:japanese-testers/ppa
    $ sudo apt-get update

このあと $ sudo apt-get install mozcかと思い（vbkさんの書き込み以前でしたので）、実行してみたところ以下のように。

　　パッケージリストを読み込んでいます... 完了
　　依存関係ツリーを作成しています               
　　状態情報を読み取っています... 完了
　　mozc は以下のパッケージで提供されている仮想パッケージです:
　　  mozc-server+dict 0.12.402.102-1.20100617.1
　　 mozc-server 0.12.402.102-1
　　インストールするパッケージを明示的に選択する必要があります。
　　E: パッケージ mozc にはインストール候補がありません

パッケージ名はmozcではないのかと悩みつつ、探してみました。
    yuki@yukisPChuit:~$ apt-cache search mozc
で出てきたのが
    ibus-mozc
    mozc-server
    mozc-utils-gui 
    scim-mozc
    mozc-server+dict
    uim-mozc
でしたので、片っ端からこれを相手にsudo apt-get install
（まずかったでしょうか？）

結果、結局のところ改善されずに今に至っております。

解決しましたー！
ありがとうございました。皆さんのおかげで、快適な日本語入力ができています。（ただいまMozc中です）

原因はいたって単純でお恥ずかしいのですが、技術的というよりも私の思い違いでした。
お騒がせした結果になりましたが、私と同じような方がいらっしゃるかもしれないので、書いておきます。

私の勘違いしていたところは

　　＞再起動後、システム->設定->iBusの設定で、インプットメソッドタブを開き、

問題はこの後です。
　　インプットメソッドの選択から日本語 Mozc を選択する。

ええ、たしかにインプットメソッドの選択からと書いてあります。
より詳しく書くなら「インプットメソッドの選択から日本語を選ぶと、ポップアップメニューが表示され、その中にMozcが表示されるので、それを選ぶ」となります。
私はインプットメソッドの選択を開くと世界各国の言語からの選択が並ぶので、そのなかから日本語を選択すればいいとだけ
思いこみ、それを選択しただけで、そこからメニューが開くことを見落としておりました。
そして、実は何も選択されていない状態であるにも関わらず、その下のインプットメソッドにMozcが表示されない、追加ボタン押しても変化ない、と困っていたのでした。

わかってしまえば、なんということのないものでしたが、その過程でずいぶん勉強させていただきました。

みなさん、本当にどうもありがとうございました。