grub-installのところは投稿する際に記述ミスをされていませんか？（その指定ではエラーが出るはずです）
おそらく「grub-install --boot-directory=/mnt /dev/sda1」としたのではないかと思うのですが想像でしかないので、勘違いのありえそうなところを説明しようかと思います。

まず「grub-install」なのですが、「--boot-directory」オプションで指定するのは「GRUBの構成ファイルが格納されるgrubディレクトリーが置かれるディレクトリー」です。この「--boot-directory」オプションを省略した場合は「/boot」が適用され（一般的に/bootの中にgrubディレクトリーがありますよね）これがデフォルトなのですが、#1の例のように、切り分けた/bootパーティションを/mntにマウントさせてgrub-installを実行するということであれば「/mnt」を指定することになります（/bootを別パーティションに切り分けているということは、その/bootパーティションのルートにgrubディレクトリーが存在するのが普通なので、/mntにマウントした場合の/bootパーティションのルートというのは/mntということになります）。
ただ、/mntなどにマウントするというのは今回のような回復措置といった一時的なものに於いたもので、通常は切り分けた/bootパーティションは/bootディレクトリーにマウントされているものです。
そしてもう一つ、grub-installで指定するブートローダーのインストールデバイスですが、これはgrubディレクトリーの存在するパーティションを指定しなければならないということはありません。grub-installはブートローダーをインストールする際にgrubディレクトリーのデバイス（パーティション）情報をブートローダーに付与してインストールを行いますので、ブートローダーをどこにインストールしてもターゲットとなるgrubディレクトリーのパーティションにアクセスします。
よって、「MBRにインストールされているWindowsなどの他のOSのブートローダーから起動させるようにする」という目的がないのであれば、ブートローダーのインストールデバイスはMBRを指定しなければなりません。

次にupdate-grubですが、これは/bootディレクトリーのデバイスを検出したりカーネルを含めた構成ファイルの検出をしたりした結果をもって「/boot/grub/grub.cfg」ファイルを作成します。つまり、/bootディレクトリーを起点にして検出するので、/bootを別パーティションに切り分けた場合はそれを/bootディレクトリーにマウントしておかないと検出と結果を/bootパーティションのものとして確保できません。
「 sudo grub-mkconfig 」を実行すると（grub.cfgと同じ）設定内容を端末のほうに出力してくれますので、/bootパーティションを/bootディレクトリーにマウントする前後や/mntにマウントした場合で実行して比較するといろいろとわかるかと思います。

ということで、システムのインストール時に、用意した/bootパーティションを「マウントポイント」に「/boot」を指定してインストールした場合は、「/etc/fstab」に/bootパーティションを/bootへマウントする記述が追加されてシステムが構築されます。（何となく、マウントポイントを指定し忘れたのがそもそもの原因なのではないかと思えるのですが…）