コメントがつきませんね。
どうやら同じ現象が起こる人はいないようですね。
わたくしだけの事のようですね。

「ファイヤーフォックスの「メニューーアドオンー言語パックーJapnese Language Pack27.0をenable」
にしても同じ現象が起きました。
前回は偶々起きなかっただけのようです。

原因をどのように特定していったらいいのか、困惑しています。

ここで、質問を変えます。
原因を特定していくにはどういうステップ、方法があるのでしょうか。
知恵を貸してください。

今までに分かったこととやったことを箇条書します。順は不動です。

1．メニューのドロップダウンが表示されない時は、マウスの右クリックのドロップダウンも開かない。
2．起こった時のページのクッキーを削除しても改善されない。
3．~/.mozillaフォルダを削除して再起動
　　ブックマークをバックアップした.jsonファイルから復元。
　　クッキーのデータベースはcookies.sqliteを削除したファイルからバックアップしておき新しいプロファイルに復元。
　　それでも同じ症状が出ます。
4､この症状が起きた時でも、ｃｔｒｌ+bで、左ベインに、ブックマークが現れ、ブックマークを選択できる。
　　マウスで、文章を選択し、ctrl+cとすると、コピーはできる。例えばLEAFPADに文章を貼り付けできる。
5､Ubuntu日本語フォーラムの検索欄に日本語を入力、例えば、「ファイヤーフォックス　メニュー」
　　などと入れると症状が出ます。１００％です。日本語変換を確定した時になります。
　その他でも(例えば楽天、NHKの番組表内の検索など)、ページ内の検索窓に日本語を入力すると同じ症状が出ます。
6､ファイヤーフォックスのセーフティーモードで起動しても症状は起こる。
7､chromiumでは、こういう現象は起こりませんでした。→仮の対策にはなります。
８、ファイヤーフォックス自身の検索欄(グーグル)でも起こる。
９、メモ帳に検索する用語を書き、それを検索窓にコピペするとこの現象は起こらない。
　　→この9項が一応、現在の仮対策です。
10､2月20日にファイヤーフォックス及びランゲージパックにアップデートがありましたが、改善していません。
　　バージョンはJapnese Language Pack27.01になっています。
以上です。

日本語入力と関係していると思われるので、インプットメソッドについて。

Lubuntuをアップグレードしたデフォルトの状態で使っています。
アップグレードは、13.04→13.10です。
「あ」のマークをクリックした時の表示は、日本語-Mozｃとなっています。
fcitxは使っていません。

ただし、Lubuntuをアプグレードした当時は何も不具合はなかった。。。と思います。
気が付かなかっただけではないと思うのですが、ひょっとして気がつかなかったのかも。
だから、インプットメソッドの不具合とも言えないと思います。

よろしくおねがいします。