スペックから見ると、Zorin OS 6 Lite で間違いないでしょうか。
（Zorin OS は Lite の有無で仕様が大きく違います）
日本語サポートはないので、返信が付きにくいでしょうねぇ……

さて、ユーザー名変更ですが、6 Lite で日本語化している前提として、
システムツール - ユーザとグループ で変更が可能です。
ただし、初期登録しているユーザの変更は
最悪ログインが困難になり使用できなくなる可能性もあります。
ユーザー名の変更するのではなく、目的のユーザーを追加して、
そちらにホームディレクトリなどの中身を移すのがおすすめです。

nandekana による投稿:

このやり方をご面倒でしょうが詳しく書いていただけると大変助かります。

うんと……「これより詳しく」ってなると画像付で説明とかになってしまうので、フォーラムでは記載しきれないですね……
ブログとかで手順とかを示しているところがないか探してみたのですが、ちょっと見つからなかったので、
これは他の方からの支援を待つ事にします。

他の Ubuntu・派生利用者の方向けに解説しておくと、Zorin OS 6.2 Lite の「ユーザとグループ」は
Lubuntu など他の派生で採用されている「ユーザとグループ」と同じです。

なお、自分が太字で書いている場合は操作手順です。
正しくは Zorin OS 6 Lite より メニュー - システムツール - ユーザとグループ となります。

balloon による投稿:

さて、ユーザー名変更ですが、6 Lite で日本語化している前提として、
システムツール - ユーザとグループ で変更が可能です。
ただし、初期登録しているユーザの変更は
最悪ログインが困難になり使用できなくなる可能性もあります。
ユーザー名の変更するのではなく、目的のユーザーを追加して、
そちらにホームディレクトリなどの中身を移すのがおすすめです。

balloonさん、誤解されているようです。

「ユーザとグループ」での変更は、表示上のユーザのフルネームを変更するだけで、ユーザ名は変更しないです。
chfnコマンドでfullnameを編集するのと一緒です。
whoamiコマンドとかは相変わらず古いユーザ名を表示します。

なので、「初期登録するユーザを変更すると、ログインが困難になる」とかそんなことはないです。そんな可能性もありません。

表示上の名前(ログイン画面で表示する名称)を変えるだけなら、「ユーザとグループ」で変更すればよいのです。

色々書きましたが、
#1の問題については、

sudo chfn -f mother father

で対応できると思います。

デフォルトでは、chfnにおいて、一般ユーザはフルネームを変更できないので要sudo。

Ubuntuの場合は、その辺り上手く設定してくれているのか、「ユーザとグループ」では自分のフルネームは自由に変更できます。

Zorin OSだと、どういうシステム設定になっているかよく分かりません。