tantalum による投稿:

デスクトップ環境とは、gtk+やqtのようなツールキットや、ディスプレイマネージャ、ウィンドウマネージャ、ファイルマネージャ、端末、その他アプリケーションなどを一つにまとめて提供するものという認識なのですが、その中でツールキットというものがいまいちわかりません。
windowsでいうwpfのようなものと思っているのですが、まずはこの認識で正しいのでしょうか。

まず基本的なラインとして、ことプログラミング的な発想をする場合は、「ツールキット」はおおむね、「ライブラリ集」と読み替えて問題ありません。WPFというよりは、MFCとWTL、あるいはVCLあたりの位置づけです（という表現で通じるでしょうか）。GTKやQtは、アプリケーションを構成するボタンやドラッグアンドドロップの受付や、見た目などを含めた抽象化ライブラリとして振る舞います。

gnomeがgtk+で、kdeがqtを使っているというところまではいいのですが、なぜgnomeで問題なく(?)qtのソフトウェアが使えるのでしょうか。ubuntuにはgtk+の他にqtも標準でインストールされているのでしょうか。それとも、gtk+とqtには互換性があるのでしょうか。

はい、現在のUbuntuには実はQtの基本セットが含まれています。GTKやQtは実際にはコンポーネントごとに複数のライブラリに分かれていて、アプリケーションインストール時に不足するライブラリも自動的に導入される、という仕組みも機能しています。

次に、このツールキットですが、gtk+をubuntuから消してqtをインストールすると、ボタンなどの配置はそのままで見た目がkubuntuっぽくなったりするのでしょうか。

いいえ、ツールキットはあくまで「ライブラリ」なので、GTKを消したらかわりにQtで、ということは普通は起こりません。それぞれ「GTKのライブラリを使ってプログラミングされたソフトウェア」と「Qtのライブラリを使ってプログラミングされたソフトウェア」なので、無いと基本的には動きません。頑張って動的に動きを変化させるようなプログラムが無いわけではありませんが、Qtで作られたプログラムとGTKで作られたプログラムは、基本的にはまったく別のものです。

たとえばfreebsdやarchlinuxなどは最初からgui環境がインストールされていませんが、ここにデスクトップ環境を入れず、ディスプレイマネージャやウィンドウマネージャなどを一つづつインストールしていく場合、このツールキットもインストールしないとダメなのでしょうか。

上記の通り、ライブラリなので、「それらを利用して作られたプログラムを入れるのであれば」必須です。

ツールキット以外にも、compizについてもいまいちわからないところがあります。
compizはウィンドウマネージャだと思うのですが、ログイン画面で選べるウィンドウマネージャにはcompizは含まれていなかったと思います。確かgnomeとかだったと思うのですが...
書いてて余計にわからなくなってきてしまいましたが、gnomeってデスクトップ環境であって、ウィンドウマネージャではないですよね。
ここに表示されるgnomeというものがcompizということなのでしょうか。

Compizに関しては https://wiki.archlinux.org/index.php/Compiz を見て頂くのが早そうな気がしますが、わからない点については「GNOMEは、たくさんのソフトウェアが連携して動く環境を示す単語です。（現在の）GNOME標準のウインドウマネージャとしてCompizが使われています。かつては異なるウインドウマネージャが使われていて、Compizがそれを代替する構造でした。現在では代替する環境がデフォルトとなっています」という文だと納得できるでしょうか？