auショップなどへのログインというものはブラウザというどのOSでもほぼ共通のインターフェースを通して行われるものなので、サーバー側(ショップ側)がOSにフィルタをかけていない限りOSによって動作がかわるということはありません。
しかし、ショップがOSにフィルタをかけるということはあまり無いでしょう。
また、ブラウザによってログインできないということはありえますが、これも稀でしょう。
可能性としてはログインIDかパスワードの間違い、もしくはあまり無いとは思いますがアカウントの乗っ取りや停止が考えられます。
あるいはブラウザで使われるJavaやAdobeFlashPlayerの問題も考えられますが、どのようにログインできないのかがわからないことには原因はわかりません。
いずれにせよOS自体には問題無いと思われますので、ログインできないということに関してショップへ確認した方が良いかもしれません。
ただし、「OSにUbuntuを使っている」と言うだけで内容も確認せず「Linuxはサポート対象外です」と言われる可能性はあります。

si による投稿:

ここからは推測になりますが、Linux 上の ブラウザからは、すんなりと、入れない作りに成っているのではないかと思います。

いいえ、そんなことはありません。
私はUbuntu 14.04 + Firefoxの組み合わせで「ぽすれん」「auショッピングモール」共にau IDでログイン出来ています。

si による投稿:

かつて、Ubuntu、 Firefox で、au の何かの変更を行おうとした時、ログインできず、user agentを偽装し、ログインした記憶があります。

今でも「auお客さまサポート」はUAを偽装してWindows版Firefoxに見せかけないとログインできませんね。