まず、ご質問の意味を確認したいと思います。
Chromiumをいったん終了させて、再び起動するとGoogleアカウントにログインしていなかったことになる、
もう一度Googleアカウントにログインしても、Chromiumを終了させて、再び起動するとまたログインしていなかったことになる、
という事を繰り返し、起動の度にGoogleアカウントにログインする必要があるということでよろしいでしょうか?

私の環境は
Ubuntu-ja-14.04.1-amd64
Chromium    37.0.2062.94 (Developer Build 290621) Ubuntu 14.04
なのですが、そのような現象になったことはありません。
またGoogle Chrome    37.0.2062.94 (Official Build 290621) も入れているのですが、そちらもそのような現象になったことはありません。

そちらのUbuntuおよびChromiumのバージョンは何でしょうか?

切り分けのため、以下の事を調べてみてはいかがでしょうか?
・もし可能なら別のOSでChromiumまたはChromeを入れて現象が再発するか確認する。 (Googleのサーバーの問題かUbuntuの問題かの切り分け)
・問題のUbuntuでGoogle Chromeを入れて見て、同様の現象が起こるか?(Chromiumの問題なのかUbuntuの問題なのかの切り分け)
・sudo adduserコマンドで新しいUbuntuユーザーを追加して同様の現象が起こるか?(Ubuntuユーザーの問題なのか否かの切り分け)
・chrome://settings/ →「新しいユーザーを追加」でChromiumユーザーを追加、追加したユーザーで同様の事を行う(Chromiumユーザーの問題なのか否かの切り分け)

また、問題のChromiumのGoogleアカウントで以下の事を試してみてはいかがでしょうか?
・https://support.google.com/chrome/answer/95537?hl=ja
・https://support.google.com/chrome/answer/142059?hl=ja (ただし、

4. テキスト フィールドに次のディレクトリを入力します
~/.config/google-chrome/

は~/.config/chromium/に読み替え)

・以下のディレクトリのパーミッションの確認。
~/.config/chromium/
~/.config/
~