どうもハード面の不具合（故障）か、OSとの相性の不具合のような気がしますが、
いずれにしましても、もう少し詳しいPC環境が必要かと思います。

メーカー品なら型番、自作やBTS品ならM/Bの型番などが分かれば、
より有効な回答が付きやすいと思われます。

一度グラフィックボードを外してみてはいかがですか？
数回問題なければ、それが原因かもしれません。
外してもダメであれば、メモリを１枚にしてみるとか・・・
今一度配線の状態も確認してみてください。

最近古いモデムカードを手に入れたのですが、最初の２回だけ正常起動して
その後は、電源ファンがうなるだけで起動しなくなりました。
カードを外したところ、また正常起動するようになりました。
これとは別に、HDDの接続ケーブルが抜けててダメなこともありました。
このような状態が、そのPCでも起こってるような気がします。
参考になれば幸いです。

santaomura2さんありがとうございます、ＰＣは自作でマザーボードはＡＳＵＳのＰ５ＷＤ２ーＥ　premiumです。メモリーはバルク品です。ＣＰＵはＰＮ４の３．４Ｇです。ＨＤＤは３００Ｇです。
電源を入れるとHDDのアクセスランプが２～３秒点きその後は消えてしまいます。PCの電源は点いているのですが。
モニターにはPCからの信号は電源を入れた時から無です、一瞬も点きません。

iinewsさんありがとうございます、グラフィッボードまだ外したことがないので、外してみます。ＨＤＤは３００Ｇを３台それぞれに、ubuntu　１４．０４-１ desktop-i386、Zorin 9、Mint-17 mateをインストールしています。
それぞれ、３２bitです。今回のようなことも有るかと思い、それぞれのケーブルを使うHDDだけ差し込み他は外しています。

iinewsさんありがとうございます、コンデンサーは見た目膨らんでいる物はないようです。

書き忘れたのですが、HDDをすべて外しても、モニターには何も映りません。

santaomura2さん、返事が遅れて申し訳ありせん。

あの後、何日かスイッチを入れたりしていたのですが、偶然か何か分かりませんが、BIOSが起動しまして、ubuntuのDVDに入っているMeｍtest86を試したところ、エラーだらけで、やはりメモリーかと思いましたが、もしやと思い、HDDに繋いで通常のシャットダウンをして、再度Memtest86をしてみたら、エラーは全く出ず、その後何回もスイッッチを入れたり、シャットダウンをしているのですが、現在も普通に使えています。原因が何だったのか見当がつきません。

何だっでしょうね。
分かりません。