yama 様

ご返事ありがとうがざいます。
test いたしましたが結果は残念ながら同じでfcitx-mozc機能が働きません。

katsu07　様
システムのcrontab(管理者権限)ではなくユーザーのcrontabを使用しております。

tosri による投稿:

Xubuntu 14.04　fcitx-mozcを使用してFirefox、Editorなどで日本語入力をしております。
ところcrontabを使用してFirefoxを起動するとfcitx-mozcが機能せずFirefoxで日本語入力ができなくなります。
いくら新しいFirefoxを別windowで起動してもfcitx-mozcが使用できません。

crontabを使用して起動したFirefoxを含めてすめてのFirefoxを終了し、再度crontabを使用しないでFirefoxを起動するとfcitx-mozcが機能して
日本語入力ができます。

crontabには下記のように登録しております。
00 09 * * 1-5 export DISPLAY=:0 && firefox http://www.yahoo.co.jp/ >/dev/null 2>&1

crontabを使用してFirefoxを起動してもfcitx-mozcが機能する方法を教えていただけませんか。

その症状は環境変数の設定がないことによるものです。
envコマンドを引数なしで実行すると設定されている環境変数を見ることができますので、以下のコマンドをターミナルアプリケーションとcronで実行させた出力結果を比較してみてください。

env > 適当なファイル名

※ これは出力内容を「適当なファイル名」に上書きします。

よって、とりあえずは下記コマンドを実行させることで入力は可能になるはずです。
（cronでGUIアプリを起動させるのはあまりお薦めではないと思うのは私だけだろうか？）

env XMODIFIERS=@im=ibus GTK_IM_MODULE=fcitx DISPLAY=:0 firefox

※ これはenvコマンドで環境変数を設定してfirefoxを起動させています。
※ Qtなアプリも使用している場合はQT_IM_MODULEの設定もしておいたほうが幸せになれるかもしれません。

Templer 様

env XMODIFIERS=@im=fcitx GTK_IM_MODULE=fcitx DISPLAY=:0 firefox　をcrontabでFirefoxを起動する前、後　両方でテストしましたが残念ながら、どちらも結果は同じで
fcitx-mozcの機能は使用できません。

env で環境変数を調べましたがWINDOWID=が相違してるだけです。（この相違はprogram”Krusader”でcheckしたのです。）

passenger　様
env で環境変数では［LANG=ja_JP.UTF-8］になっております。

passenger 様

私のテストの方法は
１）ターミナルエミュレーターでenv XMODIFIERS=@im=fcitx GTK_IM_MODULE=fcitx DISPLAY=:0 firefoxをRUNさせる。
2)crontab でFirefoxを起動させる。
３）日本語入力ができるかテスト。　no good
4)ターミナルエミュレーターでenv XMODIFIERS=@im=fcitx GTK_IM_MODULE=fcitx DISPLAY=:0 firefoxをRUNさせる。
5)日本語入力ができるかテスト。　no good

以上のテストでうまくできませんでした。

passenger 様のように
05 00 * * * GTK_IM_MODULE=fcitx DISPLAY=:0.0 firefox http://www.yahoo.co.jp/ >/dev/null 2>&1
をcrontabに入れてテストするとうまく日本語の入力ができました。

いろいろ教えて頂きありがとうございました。