その後、色々試行錯誤して分かったことを述べます。結論から言うと、NetworkManagerを用いると pppoe で
インターネットに繋げることができました。今まではネットワーク関連は　/etc/network/interfaces に設定を
書いていました。15.04から 15.10にアップグレードする段階でネットワーク接続の仕様が変化したのでしょうか。
syslog でメッセージを見てみると、15.10のインストールディスクで繋がらない時、

Nov 12 22:24:34 XXXX pppd[183]: PPP session is 56
Nov 12 22:24:34 XXXX pppd[183]: Connected to XX:XX:XX:XX:XX:XX via interface eth1
Nov 12 22:24:34 XXXX pppd[183]: Using interface ppp0
Nov 12 22:24:34 XXXX pppd[183]: Connect: ppp0 <--> eth1
  .
  .
Nov 12 22:24:35 XXXX pppd[183]: CHAP authentication succeeded
Nov 12 22:24:35 XXXX pppd[183]: CHAP authentication succeeded
Nov 12 22:24:35 XXXX pppd[183]: peer from calling number XX:XX:XX:XX:XX:XX authorized

15.04のインストールディスクで繋がる時、

Nov 14 16:09:20 XXXX pppd[189]: PPP session is 292
Nov 14 16:09:20 XXXX pppd[189]: Connected to XX:XX:XX:XX:XX:XX via interface eth1
Nov 14 16:09:20 XXXX pppd[189]: Using interface ppp0
Nov 14 16:09:20 XXXX pppd[189]: Connect: ppp0 <--> eth1
  .
  .
Nov 14 16:09:20 XXXX systemd[1]: Started ifup for ppp0.
Nov 14 16:09:20 XXXX systemd[1]: Starting ifup for ppp0...
Nov 14 16:09:20 XXXX sh[1109]: Unknown interface ppp0
Nov 14 16:09:21 XXXX pppd[189]: CHAP authentication succeeded
Nov 14 16:09:21 XXXX pppd[189]: CHAP authentication succeeded
Nov 14 16:09:21 XXXX pppd[189]: peer from calling number XX:XX:XX:XX:XX:XX authorized

のように、systemd によって ppp0 を ifup する初期化が行われていないことが理由で繋がらないように見えます。
どこでこの systemd による ifup が行われているのかが追い切れなかったので、結局これまでのように
/etc/network/interfaces で指定する接続方法はできていません。何か心当たりのある方は引き続き情報を
いただければ助かります。

k-shinotsuka さん、

　対応策をありがとうございます。確かに私もネットで調べた時、

http://superuser.com/questions/991732/internet-does-not-work-via-pppoeconf-after-ubuntu-upgrading-from-15-04-to-15-10

で ppp0をデフォルトのルーティングテーブルに書き加えれば繋がるとあったのですが、このページで質問を投げた人は

/sbin/route add default ppp0

では問題は解決せず、ネットには繋がらなかったと言っています。私の場合も全く同様で、これを行っても繋げることはできませんでした。
環境にも依るのかもしれませんが、上にも書きましたように ppp0デバイスの初期化が足りないのではないかと思っています。
できれば NetworkManagerを使わずに以前のように pppoeで繋げたいのでですが、今だできていない状況です。