pipelight適用で動くかもしれません。私の環境ではunityはエラーで動きませんでした。
wine環境は新しいから動くってわけではないので、12.04での環境のほうが動くかもしれませんね。
どこを検索しても最初にpipelight-plugin --updateしましょうってなってますが、これで有効にできない場合、元には戻せない（はず）ので、後にします。
ここではunity3dにだけ絞っていきます。

(1)pipeliagtをインストール
$ sudo add-apt-repository ppa:pipelight/stable
$ sudo apt-get update
$ sudo apt-get install --install-recommends pipelight-multi
ubuntuは--install-recommendsは不要だと記憶してますが、公式サイトでそうなのでそのまま載せました。

(2)unity3d（unity web player）を有効、端末からfirefox起動
$ sudo pipelight-plugin --enable unity3d
$ firefox
これでプラグインとして認識できてればOK。ダメならfirefox実行ログにdownload errorと出てるはずです。
download errorの場合はfirefoxを終了して
$ sudo pipelight-plugin --update
$ sodo pipelight-plugin --create-mozilla-plugins
$ firefox
これで認識できてるはずです。
ただpipelightは不安定なので、ダウンロードがうなくいっても認識しない場合もたまにあります。その場合は
$ sudo pipelight-plugin --disable unity3d
$ firefox（すぐ終了）
$ sudo pipelight-plugin --update
$ sodo pipelight-plugin --create-mozilla-plugins
$ sudo pipelight-plugin --enable unity3d
$ firefox
上記は一例です。いろいろやってみてください。認識できたら・・・

(3)ユーザーエージェント偽装アドオンえを入れる
user agent switcherを入れて、windows firefox43を入れます。
Windows 7 32bitなら
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; rv:43.0) Gecko/20100101 Firefox/43.0
こうなります。

あとは動いたらラッキーだと思ってくださいね。
以前古いバージョンのpipelightでは、unityギャラリー全部を含め結構動いたんですけどね。今はチョウチョのデモしか動きません。
http://japan.unity3d.com/gallery/demos/

Unity Web Player
がきどうできる状態ならできそうってことですね。
iinewsさんに教えてもらったやりかたを試してみます。
それでも、動いたらラッキーってことなんでしょうから、ダメだったら諦めます
ご協力感謝です

え？
このゲームうごいたんですか？
すごいなあ
いろいろためしてますがちょっと、無理そうです・・・

思いつきでwine環境を作りなおしてみました。
wine1.8だったのですがpipelightも含め完全削除、wine-staging1.9をメインのwine環境として導入、そこへpipelightを追加
unityのライブデモが全部動きました。
こちらも触った分は全部動きました。（表示がおかしいのもありましたが・・・）
http://www.kongregate.com/unity-games
今のpipelightは最初からwine-staging1.9とセットなので、状況に変化はないはず？ですが、わからないものですね。

ただまったく動かないサイトもあったので、unityのバージョンが影響してる？のかもしれませんが、よくわかりません。
くにおくんについては読み込みエラーはなくなりましたが、以下のメッセージが出てお手上げです。
The content was stopped because a fatal content error has been detected.
機械翻訳（致命的なコンテンツエラーが検出されているため、コンテンツを停止しました。）

前にも言いましたが、必ず新しい環境がいいわけではないので、12.04環境の方がいろいろ動くかもしれません。

この質問を覚えてくれててありがとうございます。
動作確認がとれたのはとても大きいです
自分も、なんとか動かせるのを目指したいです