Unigine_Heaven-4.0.runをダウンロード、実行権付与
$ sudo ./Unigine_Heaven-4.0.run
$ cd Unigine_Heaven-4.0
$ ./heaven
kottosuperさんと手順が違いますか？

iinewsさんと同じように(sudoは外して)実行したのですがwindowモードにしても
Loading "libGPUMonitor_x64.so"...
Loading "libGL.so.1"...
Loading "libopenal.so.1"...
Set 1360x768 windowed video mode
X Error of failed request:  GLXBadFBConfig
  Major opcode of failed request:  156 (GLX)
  Minor opcode of failed request:  34 ()
  Serial number of failed request:  59
  Current serial number in output stream:  58
AL lib: ReleaseALC: 1 device not closed
となり実行できません

kottosuper による投稿:

ubuntuを再インストールしたら起動することは出来ましたが
https://drive.google.com/file/d/0B-gyx7jtnJTOYl91NVRsb2hjSFk/view?usp=sharing
このようになってしまいテストが開始しませんどうしたらよいでしょうか

PCのハードウェア情報を明記すると、的確なサジェスチョンを受けられるかも知れません。

私の環境でも、正常に動作します。
（Core i7 3770, z77 マザー, nVidia GTX-950, Ubuntu14.04, nvidia-352-updates)

スペックはマザボがASUS B85M-K
CPU 8GB
です

グラフィックはどうですか？i5-4460の内蔵だとhd4600ですかね。
http://ark.intel.com/ja/products/80817/Intel-Core-i5-4460-Processor-6M-Cache-up-to-3_40-GHz
グラボをつけてるとしたらなんでしょうか？
今あたってるドライバはなんでしょうか？

前にも述べましたが、もし追加のドライバで他のが選択できるなら、それで試すのもいいかもしれませんよ。
ただドライバの変更はリスクゼロではないので、そこはkottosuperさんの判断で・・・

kottosuper による投稿:

ubuntuを再インストールしたら起動することは出来ましたが
https://drive.google.com/file/d/0B-gyx7jtnJTOYl91NVRsb2hjSFk/view?usp=sharing
このようになってしまいテストが開始しませんどうしたらよいでしょうか

たまたま、似た環境で、CPUチェックする機会がありましたので、上記、状況を再現できました。
（ Celeron1840, H97 マザー, 4GB RAM, Ubuntu14.04 AMD64 日本語版）
標準の Intel グラフィック・ドライバでは、対応できていないようです。
エラー出力をファイルに落としてみたら、エラーが大量に出ていました。
（ ./heaven 1> errors.log 2>&1 ）

遅すぎかも知れませんが、対応策らしきもの見つかりました。
参照：
http://askubuntu.com/questions/466197/clearsigned-file-isnt-valid-from-01-org-package#comment616085_466197

要約
１： /etc/apt/sources.list.d/intellinuxgraphics.list を作成、下記を書き込む
deb https://download.01.org/gfx/ubuntu/14.04/main/ trusty main #Intel Graphics drivers

２： キー追加
sudo apt-key adv --keyserver keyserver.ubuntu.com --recv-keys A902DDA375E52366

３： アップデート＆アップグレード＆再起動
sudo apt-get update
sudo apt-get dist-upgrade
sudo reboot

大量にパッケージがアップデートされ、Unigine_Heaven-4.0 が動作するようになりました。