ok さん

8 GB のパーティションは、アプリケーションなどをインストールすると、
あっという間に埋まってしまうので、結構ギリギリな環境だと思います。
アプリケーション以外にもログが /var/log などに溜まっていきますし、
アンインストールされたアプリケーションでも設定ファイルが残っている場合も
ありますので、そういったファイルがストレージを逼迫しているのだと考えられます。

使用状況 (どんなアプリケーションをインストールしているかなど) がわからないので、
的確なことは言えませんが、linux の古いカーネルを削除すると
容量が少しだけ確保できるかもしれません。
削除方法は、以下の URL を参考にしてみてください。
http://qiita.com/ytkumasan/items/d6cc70f151f130d58e9b
ただし、古いカーネルは、新しいカーネルがダメな場合も考え、
1 つか 2 つほど残すのがベターです。

また、自身で作成されたファイルは、外付けのデバイスに
保存することを前提に付き合っていくのが良いかと思います。

ok さん

アプリケーションのアンインストールは、apt-get (CUI; CLI)、
Synaptic (GUI) 、Ubuntu ソフトウェアセンターからできます。

apt-get の場合は、

$ sudo apt-get --purge autoremove パッケージ名

とすると、設定ファイル (ユーザ設定は除く) と関連パッケージも
削除されるので容量を確保できるかもしれません。

ただし、そちらの環境である 10.04 は既にサポート切れであるため、
コンパイルして導入するタイプやアーカイブを利用するタイプでないと
アプリケーションをインストールできません。
なので、間違ってアプリケーションをアンインストールしてしまうと
再インストールなどの復旧は困難になります。

そういった事情やセキュリティ面からも、
最新版ないし、最新の LTS 版の導入をおすすめします。

何とか現在のパーティション（/dev/sda13）のエリアを拡げられないか苦戦しています。

GPartedのスクリーンショットを下記URLに載せました。

https://drive.google.com/a/zono1.com/file/d/0B2JrerrvHOIHNEg3QUd4WHpwNzQ/view?usp=sharing

/dev/sda13をリサイズしようとしても直前の未割当のエリアに広げることができませんし
/dev/sda6を削除できないため解放（未割当に）できません。

なにかいい方法はないでしょうか？

ok さん

こんなことはやったことがないのですが、
理論上できそうなので書いてみます。

1. dd コマンドで /dev/sda13 をファイルにして、
　 外付けの HDD やら USB やらにバックアップします。
2. /dev/sda13 を削除してしまって、前の領域とともに
　 未割り当てにします。
3. dd コマンドでその未割り当て領域に対して
　 /dev/sda13 の内容をリストアします。
4. リストアした領域を拡張します。

ただ、ここまでパーティションを細切れにしてしまうのは、実用的ではないと思います。
今回のようにパーティションの大移動であったり、HDD の使用効率が悪くなってしまいますので…。
運用方針を見直した方がいいかもしれません。
HDD を新たに購入して仕切したり、CPU やメモリが豊富にあるというのであれば、
仮想 PC で運用するという手もあります。

まぁ、ネタのためにやるとか、チャレンジングなことをしているのであれば止めませんが…。