Adobe社はFirefox、Operaなどで使用しているAdobe Flash の Netscape Plugin API の提供を打ち切り
代わりとして Pepper Plugin API というものを提供し始めています。今の所 Chromeのみです。
ではFirefox、OperaはどうするのかですがChromium で Flash Player が使えなくなる件の対処法に
詳しく書かれていますので参考にしてください。

実際にoperaをインストールしてみました。

インストール環境
Ubuntu 16.04.1 LTS
HDD boot

手順

・Operaホームページから下記をダウンロード

opera-stable_41.0.2353.56_amd64.deb

・端末から
dpkg -i opera-stable_41.0.2353.56_amd64.deb

・opera実行

編集ー＞環境設定ー＞ウェブサイトー＞プラグインー＞クリックで実行 に変更

about:pluginsでプラグインAdobe Flashの確認
Ver 22.0.0.xxx  path:/usr/lib/pepperflashplugin-nonfree

「flash バージョン」で動作確認
バージョンアップせよと表示

youtube 動画再生可能

「高松ターミナルホテル」 動画再生可能

・google chrome から最新バージョンを上記pathへ上書き

・opera実行
flash バージョン最新確認 Ver 23.0.0.207 正常に表示
youtube 動画再生可能
高松ターミナルホテル 動画再生可能

以上、特別な不具合を見つけることが出来なかった。

実際にインストールして確かめるまでに色々とOperaとflash playerの関係を調べたが
感想としてはホームページに書かれている内容はほとんど古く参考にならない。
ここに上がっている質問と同じ内容が各地で上がっているが答えを見出すことは出来なかった。
参考にならないかもしれないがプラグイン リスト画面で
flash playerの無効にして再起動、有効にして再起動してみてはいかがだろうか。

32bit版だけなのかもしれませんが、google-chromeを削除してchromiumを入れてadobe-flashpluginを入れ直したところoperaでもyoputbeの動画が再生されるようになりました

状態変化は以下のようになりました

google-chromeを削除　operaで動画再生出来ず
chromiumを入れる　　　operaで動画再生出来ず
adobe-flashpluginを入れ直し　operaで動画再生出来ました