HDDのフォーマットのせいではないでしょうか？？？
Ubuntu 14.04のデフォルトのフォーマットはext4です。たぶん....

とりあえずdmesg | tailを実行した結果を載せておきます

~  dmesg | tail
[21850.129965]  [<f8ba0cb0>] ? drm_mode_setplane+0x400/0x400 [drm]
[21850.129980]  [<f8b93320>] ? drm_free_buffer+0x30/0x30 [drm]
[21850.129983]  [<c118d322>] do_vfs_ioctl+0x2e2/0x4d0
[21850.129987]  [<c117e321>] ? __sb_end_write+0x31/0x70
[21850.129989]  [<c117c865>] ? vfs_write+0x165/0x1b0
[21850.129992]  [<c118d570>] SyS_ioctl+0x60/0x80
[21850.129995]  [<c166bbcd>] sysenter_do_call+0x12/0x12
[21850.129997] ---[ end trace e98b7a0b2b7aa910 ]---
[22096.143990] EXT4-fs (sdc2): VFS: Can't find ext4 filesystem
[23105.575038] EXT4-fs warning (device sdb1): __ext4_read_dirblock:674: error reading directory block (ino 2, block 0)

よろしくお願いします

はい、対象ドライブはsdcです。

助言通りにコマンド実行してみました。
~  sudo parted /dev/sdc
GNU Parted 2.3
/dev/sdc を使用
GNU Parted へようこそ！ コマンド一覧を見るには 'help' と入力してください。
(parted) print                                                            　　　　　　←printを追加入力
モデル: Hitachi HTS545032B9A300 (scsi)
ディスク /dev/sdc: 320GB
セクタサイズ (論理/物理): 512B/512B
パーティションテーブル: msdos

番号  開始    終了   サイズ  タイプ   ファイルシステム  フラグ
1    1049kB  256MB  255MB   primary  ext2              boot
2    257MB   320GB  320GB   primary


やはり番号2のパーティションにファイルシステムが表示されません。
番号1はusb接続時に自動的にマウントされてファイルにアクセスできます。

実行してみました。usbを再接続したのでドライブがsdbに変わっています。

~  sudo e2fsck -p /dev/sdb2     
e2fsck: Bad magic number in super-block while trying to open /dev/sdb2
/dev/sdb2:
The superblock could not be read or does not describe a valid ext2/ext3/ext4
ファイルシステム.  If the device is valid and it really contains an ext2/ext3/ext4
ファイルシステム (and not swap or ufs or something else), then the superblock
is corrupt, and you might try running e2fsck with an alternate superblock:
    e2fsck -b 8193 <device>
or
    e2fsck -b 32768 <device>

メッセージを読むとsdb2を開く際にスーパブロック中にbad magic numberなるものがあるとのことです。意味はわかっていません。
ちなみに
e2fsck -b 8193 /dev/sdb2
or
e2fsck -b 32768 /dev/sdb2
も実行してみましたが上記と同じメッセージが表示されました。

実行してみました

~  sudo mke2fs -n /dev/sdb2
mke2fs 1.42.9 (4-Feb-2014)
Filesystem label=
OS type: Linux
Block size=4096 (log=2)
Fragment size=4096 (log=2)
Stride=0 blocks, Stripe width=0 blocks
19521536 inodes, 78080000 blocks
3904000 blocks (5.00%) reserved for the super user
First data block=0
Maximum filesystem blocks=0
2383 block groups
32768 blocks per group, 32768 fragments per group
8192 inodes per group
Superblock backups stored on blocks:
    32768, 98304, 163840, 229376, 294912, 819200, 884736, 1605632, 2654208,
    4096000, 7962624, 11239424, 20480000, 23887872, 71663616

実行してみました。
すべての数字を引数にして試してみましたが、すべて以下のようなメッセージがでるだけでした。

~  sudo e2fsck -y -b 71663616 /dev/sdb2
e2fsck 1.42.9 (4-Feb-2014)
e2fsck: 無効な引数です while trying to open /dev/sdb2

The superblock could not be read or does not describe a valid ext2/ext3/ext4
ファイルシステム.  If the device is valid and it really contains an ext2/ext3/ext4
ファイルシステム (and not swap or ufs or something else), then the superblock
is corrupt, and you might try running e2fsck with an alternate superblock:
    e2fsck -b 8193 <device>
or
    e2fsck -b 32768 <device>

いろいろ助言して頂いてありがとうございます。
TestDiskを使ってみてダメだったら諦めようかと思います・・・

結果に関わらず報告はさせていただきますのでよろしくお願いします。