少し気になる点はあるのですが、概ね実現できると思います。

以下の３点について説明します。
A)　incron上の記述の仕方
B)　リネーム処理の実装
C)　考慮すべき点


A)について

「該当ディレクトリにファイルが入った時」と言われているのでincrontabの書き方はこんな感じでしょうか？

# 対象ディレクトリ　マスク　コマンド
#  <path> <mask> <command>
/foo/bar  IN_CLOSE_WRITE  <コマンド> $@/$#

/foo/barディレクトリを監視して、そこに書き出されたファイルがクローズされると
そのファイルのフルパス名(対象ディレクトリ名$@+ファイル名$#)をコマンドに渡します。

参考：http://inotify.aiken.cz?section=incron&page=doc&lang=en

incron documentation
Example: You need to run program 'abc' with the full file path as an argument every time a file is changed in /var/mail. One of the solutions follows:

/var/mail IN_CLOSE_WRITE abc $@/$#

<mask>はIN_CREATEでもいいのでしょうか？
incronの挙動に詳しくないのでその点の判断はおまかせします。

それとリネームを後でしますからそれに該当してしまう<mask>の値は指定できません。
指定すると自分のリネーム処理で再度incronから呼び出されてしまいます。

B)について

後ほどc)で述べることが克服できれば
<コマンド>はbashのスクリプトで実装可能だと思います。

方針として次のようにしてみました。
・リネームするファイル名は元のファイルの作成日付か最終更新日付を元にする。
・連番は先に出来ているYYYYMMDDhhmmss+連番.txtの状態を調べて決める。

A)で述べたように作られたファイルのフルパス名がコマンドに渡ってきますから
それに対して次のような処理をします。

1)　対象ファイルに対するYYYYMMDDhhmmss(以下タイムスタンプ)を決定する
　　→　渡ってきたファイル名に対してstatコマンドで
　　　　Time of file birth(作成日付)か
　　　　Time of last modification(最終更新日付)を取得する。
　　→　取得結果は"YYYY-MM-DD hh:mm:ss.nnnnnnnnnn +0x00"のような形式なので
　　　　ミリセカンド部や"-"、":"、スペースを除去して想定するタイムスタンプ形式にする。

2)　連番を決定する
　　→　連番の初期値は0　　※　1から始めるなら1にする。
　　→　タイムスタンプ＋連番０のファイルの存在を確認して
　　　　存在したら一番大きい連番のファイルを取得してその連番を切り出し
　　　　その値に＋１する。

3)　対象ファイルをリネームする
　　→　リネーム元ファイルはコマンドに渡ってきたファイル名
　　　　リネーム先ファイル名は、タイムスタンプ＋2)で決定した連番.txt
　　　　(mv　コマンドに渡ってきたファイル名　タイムスタンプ＋2)で決定した連番.txt)

ちょっと書いてみたスクリプトはこんな感じです。
(タイムスタンプと連番の間に"-"が入るようになっています)

#!/bin/bash

TARGET=$1
DIR=`dirname ${TARGET}`

TM=`stat -c %y ${TARGET}`  #  %y:Time of last modification, human-readable

# 2016-12-22 06:16:51.607719000 +0900
TM=${TM%%.*} # remove mili-seconds
TM=${TM//:/} # remove ":"
TM=${TM//-/} # remove "-"
TM=${TM// /} # remve space

BRANCH=0
FILE_BASE=${DIR}/${TM}-0000.txt
FILE=${DIR}/${TM}-[0-9][0-9][0-9][0-9].txt

if [ -e ${FILE_BASE} ]; then
    FILES=`ls -r ${FILE}`
    FILES=(${FILES})
    BRANCH=${FILES[0]}
    BRANCH=${BRANCH//.txt/}
    BRANCH=${BRANCH:$((${#BRANCH}-4))}    # 4 letters in tail
    BRANCH=$((${BRANCH}+1))
fi

BRANCH="000${BRANCH}"
BRANCH=${BRANCH:$((${#BRANCH}-4))}    # 4 letters in tail

FILE=${DIR}/${TM}-${BRANCH}.txt
echo ${FILE}

# mv ${TARGET} ${FILE}

C)について

投稿を読んでいて一番気になったのは連番の管理のところです。

＞末尾に各秒ごとに連番を振りたいと考えています。
ということなので、同一秒で複数のファイルが作成されるのは想定されていて
同一秒で既に作られたファイルの状況を見て新しい連番を決定しないとなりません。
そうするとタイミングによっては同じ連番を取り合ってしまうことが起きます。

今２つのファイルが同一秒で作成されたところを想像してみてください。

incronからそれらの２つのファイルに対してそれぞれコマンドが起動されます。
それぞれのコマンドはファイルの作成状況を調べて自分の連番を決めようとします。
まだ同一秒のファイルがなければ、２つのコマンドそれぞれが０を自分の連番とするし
１つでもファイルがあればその連番＋１を自分の連番としますから
いずれにしろそれぞれコマンドが認識する連番の値は同じになります。
結果としてリネームするファイル名が同じなるのでいずれかのコマンドが失敗します。

従ってリネームの失敗を検出したコマンドは、自分の処理の一部として
連番を決めるところからリトライする必要が出てきます。

リトライすれば成功したコマンドがリネームしたファイルが出来ているので
その連番＋１を使ってリネームが成功するはずです。

B)で書いてみたコードにはこのリトライ処理はいれていません。

以上です