> 画面全体が端末になります.
GUI が立ち上がらず、CUI になっているようです。
可能性として、16.04 以降変わった、AMD用グラフィックドライバが原因であることが考えられます。
（参照： http://gihyo.jp/admin/serial/01/ubuntu-recipe/0471 ）
もし、交換できるグラボがあれば、それに差し替えてみる
７，８年前 以降の nvidia（あまり古いものだと、動作が遅い）もしくは、AMDの新し目のグラボ（Radeon R* ）

これでだめなら、CPU が新しすぎて、対応しきれていないかもしれませんので、アップデートしてみてください。
sudo apt update
後
sudo apt dist-update
そして
sudo reboot

さらにだめなら、インストールに使ったイメージが、Ubuntu 16.04.1 以前のものなら
バージョン 16.04.2 か、17.04 で再トライしてみてください。

早速お返事ありがとうございます.

OSですが, 詳しくはUbuntu 16.04.2 LTS (GNU/Linux 4.4.0-87-generic x86_64)です.
交換できるグラボが手元に無いので, 新しく購入することを考えているのですが, その前に一点確認させてください.
現在使用しているPCは, 今年の2月に研究用に外注した製品でして, 先週までは今のグラボで正常に動作していました.
それはあまり関係ないのでしょうか?
また, 一応グラボを交換していない状態で
sudo apt update
sudo apt dist-upgrade
sudo reboot
試してみたのですが, 上手く行きませんでした.

よろしくお願い致します.

irakairaka1025さん
siさんのご質問の通り、どの時点でCUI起動になってしまったか分かれば、原因も特定しやすくなると思いますが、
試しに、/var/log/Xorg.0.logの内容を確認されてはいかがでしょうか？

(II) RADEON(0)・・・・・・の行が多数あれば、AMD用のオープンソースドライバで起動しようとしている。
(II) fglrx・・・・・の行が多数あれば、AMDのプロプライエタリドライバで起動しようとしています。

因みに、(II)の部分が(WW)ならワーニング、(EE)ならエラーがあった事を示しています。
なので（EE)を解決できれば復活することになります。

私もHD5800を使用していますが、プロプライエタリドライバが停止となり、現在は、RADEON（AMD用のオープンソースドライバ）で
動作させています。（ゲームしないので性能面などもあまり気になりません）

以上　参考になれば。