メニューのスクリーンショットを見たところ、そのEclipseはUbuntuのリポジトリからインストールしたものでは無いように見受けられます。

とはいえ至って普通と言いますか、ネット上の多くの方が書かれている方法でインストールしただけなのですけども・・・

と書かれていますが、まず症状が起きているアプリケーションはどのような方法でインストールされたのかを示していただけないでしょうか？
(どのサイトを参考にしたかや、どこからアプリをダウンロードしたかなど)

Ubuntuのリポジトリからインストールした場合ならある程度は問題を絞り込めると思うのですが、そうでない場合は状況が複雑になりますので。

状況はある程度分かったのですが、UbuntuのリポジトリではなくPPAや開発元のものをインストールしているとなるとそれぞれのアプリケーションで個別に解決していく必要があります。
まず、いわゆる普通のインストール方法というのはソフトウェアセンター、apt、apt-getを利用してUbuntuのリポジトリにあるものをインストールすることになります。特別な事情がない限りはこのインストール方法でインストールするかたちになります。
(PPAの利用にはapt、apt-getも関係して来ますが、この場合はPPA抜きの話になります)

それに対してPPA(Personal Package Archive)はその名前から分かるように個人でもパッケージを配布出来るシステムです。例えば最新版を配布したい人が公開していたり、パッケージのビルドオプションが変更されていたり、特定のパッチが当てられていたりするものなどが配布されています。
そのため開発者が配布していないモノや動作検証などが不足していることがあり、利用する際はより自己責任や自己解決が求められます。

なのでHard99さんが取られたインストール方法では個別の事情が非常に多くなってくるため、解決するにはまず状況を洗い出していく作業が必要になってきます。もしPPAなどを利用するような特別な事情が無いのならソフトウェアセンターでインストール出来るものを利用するのが良いでしょう。それでもPPAなどのパッケージが必要な場合は、ある程度割り切って利用する必要があります。アイテムセパレータが表示されないことで何か機能や操作上の問題が無ければ、そういうものだと割り切ってそのまま利用するのも一つの手段です。

PPAの利用に関する情報としては以下の記事が分かりやすいかと思います。
Ubuntu Weekly Recipe : PPA（Personal Package Archive）の登録及び抹消操作の便利ツール

えーと、始めの投稿の文章で通常での起動が出来るのが希望ともありましたので
・PPAや開発元のパッケージではなくソフトウェアセンターなどでインストールしたものを利用する
・もしどうしてもPPAなどのパッケージが必要な場合は、アイテムセパレータが表示されないことと割り切って通常起動で使用する
と提案したのですが、上手く伝わらなかったでしょうか？

sudoで管理者権限により一般のアプリケーションを常用的に使用するとそれに付随してその他の問題が生じてしまう可能性があります。私個人の判断ではそれは割り切って使うレベルを越えてしまっています。簡単に言うと、それをするくらいなら使うべきではないという判断をします。

Hard99さんはUbuntu初心者ということでしたが、文章からはLinuxについてある程度把握しているようにも思えます。ただ実際どの程度Linuxについて知っているのかは分かりません。管理者権限での利用に際してのリスクを充分に把握しているのでしたら私があまり口を挟むものではないのですが、私の提案ではダメな理由は何かあるのでしょうか？

またPPAや開発元パッケージをインストールしたというのはかなり重要な情報となります。それが省かれてしまうと問題の論点が分散し過ぎてしまいかねません。今後何か追加で投稿する場合には、そのような部分もより詳しく書いて頂ければと思います。