おそらく

「・端末から　firefox　コマンドを入力→起動した。Launcher上のFirefoxアイコンにも△マークが付いた」

が怪しい点だと思います。
ここが

「端末から他に何も書かずに単純にfirefox[ENTER]とだけしたら、firefoxが起動しました。加えてLauncher上のFirefoxアイコンにも△マークが付いた」

という前提の解釈でお話します。

「端末から起動できるとはいえ」と後述されていますが、ここがはっきりしないとfirefoxの実行ファイルがもともとの位置にあるのかがわからず答えづらいです。

まず一応最初に、動作しないとは思いますが、一度Unityランチャーに登録されているfirefoxアイコンの登録を解除した後、もう一度検索窓からドラッグしてみてください。
これは今回の検証の途中で、検索結果で出てきた下記のdesktopファイルと最初から起動する、すでに登録されているdesktopファイルが違っていたのですが、ドラッグしても上書きされず、更新前のdesktopファイルが読み込まれました。
そのため更新されていないためにアイコンを押しても出ないというケースを想定したものです。

お話は伺いましたが、疑問点を解消するため端末から

/usr/bin/firefox

としてfirefoxが実行できるか見てみてください。
「・端末から　firefox　コマンドを入力→起動した。」で起動されるはずのfirefoxは、apt-getでインストールすると通常この位置に格納されているはずなので、これで起動しない場合は後述しますがfirefoxの実行ファイルを探しだし、フルパス指定します。

起動した場合は、まず、/usr/share/applicationsに、「Firefox ウェブ・ブラウザ」ファイルがあることを確認します。
実体はfirefox.desktopというファイルなのですが、Nautilusなどから見ると内部の名前が使われます。
Dash検索窓にapt-getでインストールして出てくるアプリケーションアイコンのデータはここにあるようです。
現状勿論これをダブルクリックしても、10秒ほどしても何も起きないはずです。

通常はこれをテキストエディターで直すか、UbuntuのDVDなどから持ってきて復旧するなどするのがセオリーですが、root権限が必要となるのでなれるまではむやみにいじらないほうが良いので、ここではそのままにして、検索される位置に同じものを作って、上書き検索させて読ませるようにします。

すなわち「アイコンファイルを作ってWindowsで言うところのショートカットのようにダブルクリックするだけで起動させたり、Dash検索で出せるようにするにはどうしたらよいか」という質問への回答と同義です。

なのでこれを覚えれば、項目を変えるだけで好きなアプリケーションをDash検索に出せるようにしたり、アイコンを右クリックした時の項目を増やしたりもできます。

Dash検索では
/usr/share/applications
よりも
~/.local/share/applications
の結果のほうが優先されるようで、同じfirefox.desktopで下記のものを~/.local/share/applicationsへ上書きしても、Unityパネルから日本語で「新しいプライベートウィンドウを開く」が表示されました。
このことから同時に存在しても、~/.local/share/applicationsが優先されると判断しています。

この投稿を参考にさせていただきました。
https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?id=11222

新規ファイルを作るため、テキストエディター(geditなど)を起動して、以下をコピペします。
もともとは私のUbuntu16.04の/usr/share/applications/firefox.desktopで、ここから日本語環境のみに必要なものに削ったうえで、UTF-8の記述と検証を兼ねて右クリックメニューのプライベートウインドウの項目で日本語を追加したものです。

#!/usr/bin/env xdg-open
[Desktop Entry]
Version=1.0
Name=Firefox Web Browser
Name[ja]=Firefox ウェブ・ブラウザ
Comment[ja]=ウェブを閲覧します
GenericName=Web Browser
GenericName[ja]=ウェブ・ブラウザ
Exec=firefox %u
Terminal=false
X-MultipleArgs=false
Type=Application
Encoding=UTF-8
Icon=firefox
StartupNotify=true
Actions=new-window;new-private-window;

[Desktop Action new-window]
Name=Open a New Window
Name[ja]=新しいウィンドウを開く
Exec=firefox -new-window

[Desktop Action new-private-window]
Name=Open a New Private Window
Name[ja]=新しいプライベートウィンドウを開く
Exec=firefox -private-window

コピペしたら、

~/.local/share/applications/firefox.desktop

というファイルで保存します。

このファイルを右クリックしてプロパティを出したら、「アクセス権」タブにして「実行:」の「プログラムとして実行可能」にチェックします。

Unityランチャーにすでに登録されているアイコンを削除してから、dash検索窓を再検索(検索窓から何度かでたらめなワードを入力して検索)させ、もう一度firefoxで検索し、出てきたfirefoxアイコンをUnityパネルへドラッグします。

ドラッグしたあと右クリックすると、今まで出てこなかったはずの日本語で「新しいプライベートウィンドウを開く」が表示されると思います。
出てこない時は再起動するなどしてDash検索をもう一度やらせます。

あとはアイコンをクリックすると今までと同じ場所にfirefoxがあるなら起動すると思いますが、もしそうならなかった場合は/usr/bin/firefoxの代わりに、どこかにfirefoxの実行ファイルがあるのでそれを探すしかありませんが、あなたがどこにインストールしたかによるので端末からfirefoxを「フルパスで」実行できるよう格納場所を見つけ出します。

見つかった場合は上記のfirefox.desktopファイルのExec=の行をそれぞれ例えば

Exec=/usr/bin/firefox %u
Exec=/usr/bin/firefox -new-window
Exec=/usr/bin/firefox -private-window

というように、フルパスへ変更します。
これで試してみてください。

なお、フルパス指定の際、Exec欄ではどういうわけか「~/」が使えない仕様でした。
私はこれでかなり難儀しましたので、省略せずに指定してください。

ちなみに

Actions=new-window;new-private-window;tekitou;

[Desktop Action tekitou]
Name=tekitou-na-namae
Name[ja]=何でも良いので適当なおなまえ
Exec=chromium

と、最後に「tekitou;」を追加し、上記を追加すると、右クリックのエントリーが追加でき、この例ではchromiumが起動できます
tekitou;と[Desktop Action tekitou]にある「tekitou」を一致させたうえで変えれば好きな名前にもできます。