HDDの寿命では？
以前からあった　というその時点で手を尽くすべきでした。

　1.BIOS/UEFIでHDDが認識されているかを確認する。
　一応GRUBまでは処理が通っているようですから全く見えないことはないと思いますが……。
　見えなかったらReadyにもなってくれないようなので復旧業者あたりに物理的に対処してもらわないと難しいです。
　2.とりあえず、バッドセクタについてファームウェアによって代替処理を促し、該当セクタをどうにかする。
　「HDAT2」による不良セクタの修復辺りを参照し、HDDの該当部分をとりあえず読み書き出来るものと交換する。古めのソフトウェアなので、レガシーモードで起動する事。ATAコマンドでHDDに働きかけるので、HDDの論理的な中身は関係ないです。
　運が良ければ代替時に辛うじて読めた値が入りますが読めなければ中身は空のセクタと入れ替わります。既に代替領域が尽きている場合には残念でした。単体で復旧するのは難しいと思われます。値は壊れている可能性が高いですが、他の稼動するシステムからなら中身が見える可能性はあります。
　とりあえず該当アドレスにアクセスできる状態で出来ればクローニングしてから修復、吸出しなどをすべきですが、fsckなどで止まる事は（作業中に更に使えないセクタが増えなければ）ないはずですので「早急に」必要な物は拾っておきましょう。
　3.別のHDDにエラーセクタを飛ばしてコピーして、修復を試みる。
　AOMEI Backupper Standardはできるようですね。エラーセクタで引っかかったときに無視してくれるような方法であればデュプリケータでも何でも。
　少なくとも落とし穴になるセクタがない事で、普通にfsckをはじめとする論理的な修復処理が行える。
　どっちにしろ壊れているデータのあるセクタが存在してしまっているので、壊れ方がひどくない事を祈るばかりです。

　s.m.a.r.t.の予測値は当てになりませんが、代替領域やエラー率、代替セクタの数などは明確に不調を示しますので、素直にどうにかなるうちに異常があれば交換するほうが泣かずに済みます。どっちにしろ交換の必要がありますので、新しいシステムをインストールした後、このHDDから必要なものを吸い出すほうがいいような気はします。
　もともと正常な状況が期待できないドライブなので、あとはあなたがどれくらい中身が大事か？時間や手間やコストをかけられるか？が問われます。