freza さん　こんにちは

> lamp環境を説明をみながら構築しましたが、webサイトのファイルフォルダをサーバーにアップした後
> そのwebサイトへプラグインzipファイルをアップロードし解凍しようとしたらできませんでした。
LAMP 環境を構築してそこにWordPress のようなアプリを入れた感じでしょうか？それとも自作のPHP アプリでしょうか？
そしてそのアプリのプラグイン(zip 圧縮済み)をアップロードしてプログラムで展開するときにエラーが出ている感じでしょうか？
具体的な名前とか交えて説明してもらえると、理解しやすくなって周囲の方々も答えやすくなると思います。

あと、以下の情報についてわかる範囲で良いので教えてください

* LAMP環境を説明見ながらとのことですが、そのページのURL とか教えてください
* スクリプトをどこに置いたのか教えてください(/var/www/html/app?)
* "ps -ef | grep apache2" のコマンドの結果を教えてください
* 次のコマンドを実行してみて、**何も表示されないこと** を確認してください
  find /path/to/your/application -not -user www-data -ls
  // "/path/to/your/application" にはスクリプトを置いた場所を指定してください
  // ファイルもしくはディレクトリが幾つか表示される場合、それはApache ユーザ(www-data) 所有権がついていないということです

エラーログからは、zip ファイルがアップロードされてそれを展開する先のディレクトリに書き込む権限がないためかと思います。
それで、そのファイルを書き込む先がスクリプトを置いたディレクトリ配下のどこかにあるということをサポートの人は言いたいんだと思います。
# Linux のパーミッション/権限については説明を割愛させていただきます