GNOMEの拡張機能が原因でVLCが起動できなくなる、というのは可能性が低いと思います。
とりあえず端末で、

sudo apt remove vlc

と実行してみて、表示されたエラーメッセージを全てここに書き込んでみてください。

ukituriboku による投稿:

sudo apt remove vlcで削除しましたが、エラーは出ませんでした。

なるほど、分かりました。

VLCのアイコンが2つある理由ですが、Ubuntu 18.04のUbuntuソフトウェアでインストールできるVLCには二種類あり、
ukituribokuさんが二種類ともインストールされているためだと思われます。

ukituriboku による投稿:

VLCを再インストールしようと思い、apt removeでアンインストールしようとしましたができませんでした。
試しに、UbuntuソフトウェアからVLCをインストールしたらうまく起動できるようになりました。

ukituriboku による投稿:

sudo apt remove vlcで削除しましたが、エラーは出ませんでした。

これらのことから、ukituribokuさんが最初にインストールし、起動しなくなってしまったVLCはsnap版のVLCで、
後からインストールした方が従来のdeb版のVLCだと思われます。
ですので、端末で、

sudo snap remove vlc

と実行すれば、起動する方のVLCが残って表示されるアイコンは1つになると思われます。
もし私の推測が逆で、起動しなくなってしまったVLCがdeb版だった場合は、
端末で、

sudo apt remove vlc
sudo snap install vlc

と実行し、deb版を削除、snap版を再インストールしてみてください。

なお余談ですが、deb版のVLCは今後アップデートされ続けるかどうか分からないので、
常に最新バージョンのVLCを使用したい場合はsnap版の方をインストールする必要があります。
(deb版のVLCはUbuntu開発元のCanonicalが公開していますが、snap版のVLCはVLC開発者自身が公開しています)
もし起動しなくなってしまったVLCがsnap版の方で、かつukituribokuさんがsnap版の方を使用したいとお考えでしたら、
端末で、

rm -rf ~/snap/vlc/

と実行してみて、snap版VLCの設定フォルダーを削除し、snap版VLCが起動するかどうか確認してみてください。
最初にインストールされた方のVLCが起動しなくなってしまった理由は分かりませんが、
もし設定ファイルの問題で起動しなくなったのであれば、設定フォルダーの削除で再び起動するようになるかもしれません。

ukituriboku による投稿:

私が最初にインストールしたVLCは、sudo apt install vlcでやったと記憶しています。
ということは、これはdeb版ということですよね？

コマンドを使われたのですね、はい最初にインストールされたVLCはdeb版です。

ukituriboku による投稿:

UbuntuソフトウェアでインストールしたVLCはsnap版ということですか？

おそらくそうだと思います。

ukituriboku による投稿:

Ubuntuのアプリは、今後はsnap版をインストールした方が良いのでしょうか？

いえ、snap版のアプリは日本語入力や日本語UIに対応していないものもあるので、基本的にdeb版でいいと思います。

ただdeb版のアプリはFirefoxやThunderbirdなどのメジャーなアプリ以外は滅多にアップグレードされないので、
できるだけ新しいバージョンを使用したい場合はsnap版を使う必要があります。

VLCは今はまだdeb版もsnap版もバージョン3.0.3と同じですが、
今後deb版がアップグレードされるかどうかは分かりません。
snap版はVLCプロジェクト公式が公開しているようなので、
これからもアップグレードが続くと思われます (snap版はすでにバージョン4.0.0のテストが始まっています)。