外付けHDDがBIOSで認識できなければインストールはできないはずです。見えていないと言うことですから。
なので外付けHDDにUbuntuをインストールしたけどUbuntuが起動（OSの選択も含めて）できないと言うことでしょうか？
それとも文字通りにBIOSで外付けHDDを認識しなくなったということでしょうか？

こう言った状況の場合、GRUB2のインストールでトラブっていることが多いようです。
BIOSで起動順を変えてみてはどうでしょうか？
それでだめならBoot Repairと言うツールを使い、「おすすめ修復」をしてみるのが手です。（起動順注意！）
Boot Repairについては色々なサイトで書かれています。検索してみてください。

>sanagoさん
前者です。Boot Repairは試そうとしたのですが、インストールされたのに起動できないという珍現象が発生し、
結局修復作業はできませんでした。
>siさん
うーん、マザーはちょっとわかりませんねー。
Ubuntuを入れたHDDは昔使ってた2000年製のPCから取ってきたものなので多分大丈夫(というか18年経っても動くって地味にすげえ)です。
Ubuntuを入れたHDDは、Windowsに挿せば普通に読み取りますが(ただしシンプルボリュームではないのでエクスプローラでは未表示)、
PCに挿してもRemovable Deviceの名前(Ubuntu 18.04 LTSとか)がBootMenuに表示されません。

他になにかありますでしょうか？

書き忘れていました
　”インストールされたのに起動できない”　と言うことは、Ubuntu 日本語 Remix　の18.04.１と言うことはないですか？
Boot Repairは、日本語Remixの場合、18.04はトポロジの収得ができないバグがあるので、16.04を利用するか本家の18.04なら大丈夫らしいのでそれを使うかしてください。
ブートローダーの修復のためだけなので、外付けHDDに入れたUbuntuと同じでなくて大丈夫です。

Boot Repairをやってみましたが、結果は何も変わらなかったです。
何なんでしょうか？Lavieでの動作確認はまだなので、この後やります。

他に解決策はあるでしょうか？

>crazyuser247さん
ベーシックにUbuntuのLiveDVDからインストール(パーティションはdev/sdbを選択)しました。
BIOSの起動順は、
1.Removable Disc
2.Windows Boot Manager
3.CD/DVD
4.Network Device
としてあり、Travelstar(Ubuntuを入れた外付けHDD)もちゃんとつないであります。
なぜ仮想環境でやらないのかといいますと、仮想環境でやると実機と少々違う部分が出たりとか、PCに負担をかけたりしてしまいます。
あとは、持ち運ぶときに仮想環境だとPCまるごと持っていかないといけないので、外付けHDDだとディスクだけ持っていって、
パソコンさえあれば使い慣れた環境でUbuntuやソフトウェアを使用することができるというのも大きいです。

UbuntuのUSB-HDDへのインストールは、リムーバブル形式にしていますか？固定形式にしていますか？
この辺の食い違いが怪しいかも

USB-HDDをリムーバブルとしてインストールしたかどうかで、GRUB2（ブートローダー）がどこにインストールされたか知りたかったのですが、
Boot Repairを実行したことでGRUB2を再インストールしたことになるので愚問でした。すみません。
USB-HDDをPCに固定して使用するのでしたら、リムーバブル形式に指定する必要はないと思います。

リムーバブル形式でインストールして上手く行ったでしょうか？

だめでしたら以下の方法を試してください
１．起動順をUSB-HDD→内蔵HDDの順番のまま、固定形式（デフォルト）でUbuntuをUSB-HDDにインストール
２．Ubuntu16.04をUbuntuを試すで起動してBoot Repairを起動
３．高度な修復（option）から「GRUBの位置」タブの「デフォルトで起動するOS」と「別パーティションに/bootを構成する」を確認、Ubuntuをインストールしたデバイスやパーティションになっていなかったら変更する。これは１パーティションでUSB-HDD（/sdb）にインストールしている場合は/sdbとか/sdb1とかになると思います。私の環境はUEFIブートなので正確なことはわかりません。
４．Boot Repairを適用し、再起動する
５．再起動後のGRUB2のメニューにUbuntuやWindowsがでたら成功です。

#13をよく読んでいませんでした。Ubuntuをリムーバブルで使用したいのですね。

その場合はGRUB２はUSB-HDDにインストール＆起動順をUSB-HDD→内臓HDDの順番で良いのかな？よくわかりません。
CD/DVDの起動が３番目になっていますが、Boot Repairを起動するためのUbuntuはDVDに焼いているものでしょうか？USBメモリに書き込んだものでしょうか？
USBメモリならUSB-HDDのデバイス名が/sdbになっているかどうか注意が必要だと思います。Boot Repairを起動したときのデバイス名が/sdbになっていないと上手くいかないかも。

今日見たら、BIOSでも認識されません。
起動したらカリカリ言っていたので寿命と思われます。
普通にLavieのHDDにインストールしますね。アダプターはまた考えます。