ドライバーをインストールしても適用されないというのは、古いGPU向けドライバーの優先順位が下げられているとかなのでしょうか。
「リコンフィグ」というのが何を指しているのかちょっとわからないのですが、それは「/etc/X11/xorg.conf」ファイルでsavageを明示してもダメだったということなのでしょうか？
もし、xorg.confでの設定はしていないということであれば試してみてください。
ただし、以下の事情を踏まえた上で行ってください。

S3 Savage系における2Dアクセラレーションは、下記マニュアルによるとデフォルトで使用されるのはXAAのようですが、このモジュールは既にXorgから削除されていますので使用できません。
もう一方のEXAならハードウェアレンダリングされますが、残念ながら不安定かもしれないということです。また、Savage4のようなより古いGPUですと、そもそもEXAは動かないと思いますので、その場合は諦めるしかありません。ドライバーやアクセラレーションに何が使われているのかは「/var/log/Xorg.0.log」ファイルを見てください。（「Mesa1.19.6+savagefb」という表記ははじめて見たのですが、Xのドライバーとしてはfbdevなんですかね）
参照： https://www.x.org/releases/current/doc/man/man4/savage.4.xhtml

ちなみに、3Dのほうも、S3 Savage系で稼働していた古いDRIモジュールは既にMesaから削除されていますので、3Dのハードウェアレンダリングは使えないはずです。

（この辺の事情は古いGPU向けドライバー全般に当てはまります）

GAIN による投稿:

Basix4.0と言うUbuntu 18.04 bionic+LXDEなライトウェイトディストリのi686版についての質問なので派生ディストリ板に立てるべきなのかもしれませんが、ドライバーモジュールの入れ替えについての話なのでここで聞いた方だ良いと判断いたしました。

今回は別だと思いますが、派生ディストリビューションはディストロ側で特別に何かをしている可能性or影響も全く無いとは言い切れませんので（#1に書かれている「Xorgリポジトリを追加してxserver-xorg-video-savage_2.3.9‐1をインストールした」という部分も公式との違いを連想させますし）、次回からは「派生ディストリビューション」のほうに投稿して頂けたらと思います。

GAIN による投稿:

いずれにおいてもデフォルトでは"glx"が指定されてしまい

もしかして「Module」セクション内を変更していたりしますか？基本的にそのセクションは弄る必要はないです。

GPUの2Dドライバーは「Device」セクションの「Driver」で指定します。
今回の件でxorg.confを設定するのであれば以下の内容だけで足りるはずなので、これで試してみてください。

Section "Device"
    Identifier    "Configured Video Device"
#    Option        "AccelMethod"    "EXA"
    Driver        "savage"
EndSection

※ 2Dアクセラレーションの設定である「AccelMethod」の部分は、とりあえずコメントアウトしておきました。ドライバーが有効になってもEXAが有効にならなかった場合は先頭の「#」を削除してください。
※ xorg.confの（変更の）有効化は、ログアウトまたはシステムの再起動が必要です。

これでもsavageが有効にならないとなると、お手上げです。

ちなみに、「dpkg-reconfigure xserver-xorg」は遥か昔から機能しなくなっているはずなので、忘れていいと思います。