yamaneko3さん、こんにちは。
随分古い機種で、チップセットSiS651は、従来から問題があります。
16.04に通用するかどうかはわかりませんが、Vesaドライバーを使う手があります。
14.04では成功したとの報告がありますので、ダメ元でやってみられたらどうでしょうか。
ただし、NECでの機種でのものです。sonyでうまく行くかどうかわかりません。

https://forums.ubuntulinux.jp/viewtopic.php?id=16495

の、＃４を参考に挑戦してみてください。
ただし、xorg.confを作成して、万が一動かないとなると、再インストール以外に方法がなくなります。

それと、32bitが前提です。

>xorg.conf が無いというのは、何かインストール作業がスキップされてしまっているのでしょうか？

いいえ、これは正常です。いまは、xorg.confは使われていません。従ってこれはありません。しかし必要時は作成することで、
起動時に読み込みに行き、それを適用するようになっているはずです。少なくとも、14.04では成功していますから、そうなっていました。

失敗の原因は、正確にはわかりませんが、
1、現在のカーネルには、VESAドライバーがもう組み込まれていないかもしれません。
しかし、リリースノートではそういう記述を見かけた覚えがありませんので、可能性は少ないように思います。
2、お伝えした、過去ログのxorg.confに記述間違いがある。しかし、これも実績的には成功していますので、可能性は低い。
3、タイプミスをされた。過去ログの記述をコピペされましたか。コピペが確実ですよ。
4、メーカーの違いで何かある。何かは全くわかりません。

ということで、残念な結果になりましたが、過去ログの後ろの方にある、"事前確認方法"で試してみられるといいのではないでしょうか。
これなら、liveDVDを使うだけなので、安全です。まずこれから試してみられることを、おすすめします。

再掲
事前の確認方法
インストールに用いた、liveCDまたはDVDまたは、USBフラッシュから、「インストールせずに試す」を選択し、
その時、F6キーを押して、起動オプションが指定できる画面にします。
起動オプションがいくつか表示されますが、ESCキーでそれを消します。
下から２行目に、起動オプション　seed/..........があると思いますが、右矢印キーを押して、ポインターを再後方に持ってきます。
スペースを入れて、xforcevesaと記入してから、エンターキーを押してインストールせずに試してください。
起動できた画面が、８００x６００のままなら、これはダメです。別の方のコメントを待ってください。

うまく行くなら、上記の方法を本番で試してください。
起動オプションの方法の詳細は、
https://wiki.ubuntulinux.jp/UbuntuTips/Others/BootOptions
を参考にしてください。

shingenさん、御返事有り難うございます。
わざわざ調査してくださりありがとうございました。

調べていただいた記述をそのままコピペして、保存し、再起動したところ、1024ｘ768の画面にすることができました。実際の画面はもう少し左右が広いのですが、それはほとんど問題ありません。あの６４０x４８０の画面に比べると天国と地獄です。

おかげさまで、古い古いマシンがよみがえり、もうしばらく活躍させられそうです。

本当にありがとうございました。