1) /media/shingenが、GIMP以外を使って通常ユーザー権限で見えるかを確認する
　
/media/shingenが、GIMP以外のファイルマネージャー「ファイル」(=nautilus)等を使って通常ユーザー(ユーザー名はshingen?)権限で見ることが出来ているでしょうか？
これが出来ているのならパーミッション設定の問題ではなく、gimp側の問題になるかと思われます。
　
#1に書かれていた下記の結果からすると、ターミナルのlsについては見ることが出来ているようですが……

~$ ls -l /media
合計 4
drwxr-x---+ 3 root root 4096  4月 12 08:09 shingen

~$ ls -l /media/shingen
合計 4
drwxrwxrwx 1 shingen shingen 4096  4月 10 13:28 EH10

　
"gimpを誰で実行しているか"と"ディレクトリ/ファイルに設定されたパーミッション"の不一致というのも考えてみました。
しかし「ホームフォルダー内のフォルダーしか開けません。」と質問者は言われています。
つまり「ホームフォルダー内のフォルダーは見える」のですから、gimpはホームディレトリ以下を見ることが出来るユーザー(ユーザー名はshingen?)で起動されていて、左記の２つの不一致では無いと判断されます。
　
　
2)　aclの設定を確認する
　
当方の環境を見てみたのですが、/mediaは質問者と同様に下記のようなパーミッション設定で、そのままでは/media/usernameの下は、ユーザーrootやグループrootでないusernameからは見ることが出来ません。

username@hostname:/media$ ls -la
合計 12
drwxr-xr-x   3 root root 4096  7月 30  2017 .
drwxr-xr-x  25 root root 4096  4月  3 19:17 ..
drwxr-x---+  2 root root 4096  7月 29  2018 username

　
但し、aclで許可されていると違ってきます。
上記の例ではディレクトリusernameのパーミッションが"drwxr-x---+"と最後に"+"が付いています。これが acl が設定されていることを示しています。
getfacl username を実行すると次のようなacl設定がされていました。ownerのroot以外に、ユーザーusernameに対して"r-x"が設定されているので、ユーザーusernameの権限でも/media/usernameの中を見ることが出来ます。

# file: username
# owner: root
# group: root
user::rwx
user:username:r-x
group::---
mask::r-x
other::---

/media/shingen についてもこれが設定されているのなら、(ls -lで見える範囲で)ユーザーrootやグループroot以外には見えないパーミッション設定になっていることは問題ではありません。
　
　
以上です。

#3
rohizukaさん、ありがとうございます。
インストールしていながら、パーミッションについては、全く気が付きませんでした。
snap版には、このような設定項目があることを始めて知りました。
解決しました。ありがとうございます。

#2
kznjさん、ありがとうございます。
今まで使ったどんなソフトもUSBハードディスクを開けないというようなことはありません。
aclの設定について、初めて知りました。勉強になりました。

＞/media/shingen についてもこれが設定されているのなら、(ls -lで見える範囲で)ユーザーrootやグループroot以外には見えないパーミッション設定に
＞なっていることは問題ではありません。

だったのですね。問題はgimpのパーミッションの問題で、snapdにはそのような設定項目があることを知らなかったのが、不覚です。