1)　依存関係
　

temm による投稿:

｢エラー:依存関係が満たされていません:libmono-winforms2.0-cil｣とはどういう意味でしょうか？

　
プログラムはそれ単体で動くように出来ているものもありますが、多くの場合はそのプログラム以外に以下のようなものを使って動きます。
・共有ライブラリ　　プログラム本体に最初から組み込まれる(静的リンク)ことなく別ファイルになっていって、ブログラム実行時に連携する。他のプログラムとも共有(共用)される
・他の実行ファイル　他のプログラムと連携して動く場合や、他のプログラムの特定の機能を利用している場合
　
「依存関係が満たされていません」というのは、これらの必要なプログラムがインストールされていない、またはインストールされているがバージョンが古い(必要としているブログラム側の予定するものと違う)ということです。
　
　
2)　依存関係を満たさせるには……
　
ubnutuのaptやdebianのdpkgでインストールされる .deb パッケージには、そのパッケージの依存関係の情報が含まれているので、それに従い通常な依存している必要なパッケージも自動的にインストールされます。
従って、問題のメッセージが出るのは例外的なことで、原因はいろいろ考えられます。
・依存関係の対象となっているパッケージを更新する(バージョンを上げる)ことがなんらかの原因出来ない
・(そもそも)依存関係の情報が誤っている
・その他
　
おそらく問題となったメッセージはあれだけではなく、こちらの画像(但しインストール対象はvld、メッセージも英語) のように長く続いたものだったと思います。

　
メッセージの「XXXX : Depends: YYYY(>= A.B.C) but it is not going to be installed」の部分は
・XXXXは、バージョンがA.B.C以上のYYYYに依存している(=必要としている)
・しかし、YYYYはインストールされていない(※1)
ということを言っています。
(※1　状況によっては、バージョン違いでインストールされているものを示す場合もあります)
　
この辺の詳しいメッセージが分からないと、具体的にどう対処するべきかは分かりません。
今分かっている"libmono-winforms2.0-cil"に問題がある場合も有り得ますが、それから更に依存関係を持っている他のパッケージに問題がある場合も有り得ますから。
　
　
3)　libmono-winforms2.0-cil について
　
このパッケージ名からするとMONOシステムのランタイムのようなのですが、このバージョン番号のものは、ubuntuだと、14.04LTS (Trusty Tahr)の頃のものと思われます。
　Libmono-winforms2.0-cil Download for Linux (deb, all)
これは、質問者の方の下記の発言にあったubuntuのバージョンとズレています。

temm による投稿:

OSはLubuntu16.04です。

インストールしようとしてうまくいかなかったパッケージはこのように古いバージョンを予定しているものなのでしょうか？
もし可能であるなら、以下を実行して依存関係を調べてみてください。
　sudo apt-cache depends 【インストールしようとしてうまくいかなかったパッケージ名】
　
　
以上です。

1)　ASUS Web Storage と libmono-winforms2.0-cil との依存関係
　

temm による投稿:

ASUS Web Storageのリナックス版をDLして｢開く｣から進めたパッケージインストラーの画面で、赤字｢エラー：依存関係が満たされていません：libmono-winform2.0-cil｣と出ました。｢パッケージをインストール｣はグレイアウトしています。

当方も、ASUS WebStrage - ダウンロード からPC用Linux版をダウンロードしてみました。
"dpkg --info  ASUSWebStorage.deb"を実行して、.debファイルの情報を表示した結果が以下です。

username@hostname:~$ dpkg --info  ASUSWebStorage.deb 
 新形式 debian パッケージ、バージョン 2.0。
 サイズ 1810772 バイト: コントロールアーカイブ = 833 バイト。
    1235 バイト、   20 行      control              
 Version: 0.9.5.24
 Package: AsusWebstorage
 Priority: extra
 Section: network
 Depends: libnotify0.4-cil, libmono-winforms2.0-cil　　　※
 Conflicts:
 Replaces:
 Maintainer: ASUS Cloud Corporation <[email protected]>
 Architecture: i386
 Installed-Size: 3686
 Description: ASUS WebStorage
  ASUS WebStorage turns your computer as an extension storage, synchronized between every device of yours with WebStorage installed to  makes your digital life complete. From office documents, photos, videos, anything you can think of, put it on ASUS WebStorage then access anytime and access it instant synchronize from your computer, mobile devices or from the web.
   **<<Notice>> 
  Please implement the command line "certmgr -SSL https://portal.asuswebstorage.com" before login. In Mono, there is no Windows Certificate store. Mono has it's own store. By default, it is empty (there are no default CA's that are trusted). You need to manage the entries yourself.
   **<<More description>>
   please visit www.asuswebstorage.com
   more description here
   Synchronize between multiple devices supported !V Windows, OS X, iOS, Android
   Just a click you can share files or folders to your friends
   **ASUS WebStorage is compatible with any brand of computer

※からわかるとおり、たしかに"libmono-winforms2.0-cil"と依存関係があるので、それが無いとインストール出来ません。
ですが、ここでは依存関係に従い libmono-winforms2.0-cil を自動的にインストールするのが本来の形です。
　
　
2)　libmono-winforms2.0-cil の所在(どこにあるのか？)
　
#2で述べたように、libmono-winforms2.0-cil は、ubuntu 14.04 LTS (Trusty Tahr)の頃のものです。
また、ubuntuを提供している canonical社のlaunchpad.net で公開されているパッケージを検索 Search packages in Ubuntu "libmono-winforms2.0-cil"　して見ると

Exact match
mono (The binary 'libmono-winforms2.0-cil' is part of the mono package)
The Mono .NET development environment

Available in: bionic, cosmic, disco, eoan, precise, trusty, xenia

という結果になり「'libmono-winforms2.0-cil'のバイナリ(パッケージ)は、パッケージ"mono"の一部である」らしいのですが、そのパッケージ"mono"を構成している一覧 Ubuntu　mono package に、libmono-winforms2.0-cil は入っていません。つまり、Ubuntu の公式のリポジトリ上にパッケージ libmono-winforms2.0-cil が存在しません。
おそらくインストールに失敗するのは対象のパッケージが存在しないためで、依存関係に従って"libmono-winforms2.0-cil"のパッケージを取得しようとしても取得出来ないからだと思われます。
　
以上のことを見てくると、現状は「パッケージ ASUS Web Storage が libmono-winforms2.0-cil を依存関係として期待している」のに、「ubuntu の公式リポジトリにそのパッケージが存在しない」という食い違いがあるということです。
その原因はいろいろ考えられますが、正直なところよく分かりません。
可能であるなら、 ASUS Web Storage　カスタマーセンター に問い合わせた方が解決出来ると思われます。
　
また、どこかからパッケージ libmono-winforms2.0-cil の.debファイルを見つけてきて手動でインストールすることは出来ますが、こちらの記事 Linuxでなんとかなるオンラインストレージ探してた (投稿日付:2018-01-31(Wed)) によると、下記の引用にあるように結局のところインストールは完了しないようです。

後はパッケージインストーラーを使えば良いだけなのだが、「エラー：依存関係が満たされていません　libmono-winforms2.0-cil」となってしまう。
では「libmono-winforms2.0-cil」をインストールすればよいのかと言えば、今度は「libmono-accessibility2.0-cil」が必要だとと出る。
そして「libmono-accessibility2.0-cil」をインストールしようとすれば、「libmono-corlib2.0-cil」がが必要だと出る。
じゃあ「libmono-corlib2.0-cil」だなとなると、今度は依存関係などの表示は出ないものの、インストールそのものが出来ない。
ここまで来たら面倒になったので、ASUS WebStorageはブラウザでアップロードする形で利用することに。というか、利用しない。

　
なお、前傾の「パッケージ"mono"を先にインストールしておいたら、ASUS Web Storageのインストールも成功するかも？」と思われるかかも知れませんが、それは望み薄です。
パッケージ"mono"が先にインストールされている／いないに関係なく、ASUS Web Storageのインストール時にlibmono-accessibility2.0-cilのインストールを試みて、それが取得出来なくてエラーになると予想されます。
　
　
3)　インストールできない他のアプリケーション
　

temm による投稿:

インストールできない他のアプリケーションも同じで、ここから先の手順がわかりません。

前述の「ubuntuを提供している canonical社のパッケージ提供状況＝ubuntuの公式リポジトリ」からするとパッケージ libmono-winforms2.0-cil は存在していませんから、そうそうこのパッケージを期待するプログラムは無いのでないかと思います。
どんなアプリケーションをインストールしようとされていますか？
なにか、PPA(Personal Package Archive：ubuntu の公式のリポジトリとは別に、有志によりパッケージ提供が行われているリポジトリ)を使われていますか？
　
　
以上です

temm による投稿:

今日でサポートの切れたLubuntu16.04を、18.04LTSに更新すれば、アプリケーションのインストール全般において、改善をみこめるとお考えでしょうか？

　
1)　「Ubuntu 16.04 LTS (Xenial Xerus)」のサポート期限＝2021年4月末
　
誤解があるようですが、下記にあるように Ubuntu 16.04 LTSの"End of Standard Support"は"April 2021"(2021年4月末)です。
　List of releases
従って、Ubuntu 16.04 LTS 自体はまだまだ使えます(サポートされていても古いリリースに対しては提供されるアプリのバージョンが古いままに据え置かれるなどは有り得ますが……)
　
また、パッケージ libmono-winforms2.0-cil が"Trusty Tahrの頃のもの"というので名前が出てきた、"Ubuntu 14.04 LTS (Trusty Tahr)"は、"End of Standard Support"が"April 2019"なので、こっちはたしかにサポート終了ですが、"Extended Security Maintenance"なら"April 2022"まで続きます。
　
　
2)　ubuntu 18.04 LTS でも ASUSWebStorage.deb はインストールは出来ない
　
18.04 LTSの環境で、ASUSWebStorage.deb を apt-get でインストールを試みましたが、下記の結果 です。

bionicbeaver@BionicBeaver:~/temp/ASUSWebStorage$ sudo apt-get install ./ASUSWebStorage.deb
Reading package lists... Done
Building dependency tree       
Reading state information... Done
Note, selecting 'asuswebstorage:i386' instead of './ASUSWebStorage.deb'
Some packages could not be installed. This may mean that you have
requested an impossible situation or if you are using the unstable
distribution that some required packages have not yet been created
or been moved out of Incoming.
The following information may help to resolve the situation:

The following packages have unmet dependencies:
asuswebstorage:i386 : Depends: libnotify0.4-cil:i386 but it is not installable
                       Depends: libmono-winforms2.0-cil:i386 but it is not installable
E: Unable to correct problems, you have held broken packages.

　
apt-getだとローカルにあるdebファイルの依存関係を解決しないようなので、念のためその解決もしてくれる gdebi を使いましたが、インストールできない のは変わりません。

bionicbeaver@BionicBeaver:~/temp/ASUSWebStorage$ sudo gdebi ./ASUSWebStorage.deb
Reading package lists... Done
Building dependency tree       
Reading state information... Done
Reading state information... Done
This package is uninstallable
Dependency is not satisfiable: libmono-winforms2.0-cil

　
ubuntu 18.04 LTS の環境になろうともdebファイル自体は同一ですから、依存関係に従い"libmono-winforms2.0-cil"のパッケージファイルを取得しようとして ubuntu リポジトリにアクセスしますが、パッケージファイルが取得出来ずにインストールは失敗していると思われます。
　
　
3)　ubuntu 18.04 LTS での ASUSWebStorage.deb 以外のインストール出来ないアプリの挙動
　
インストール出来ない原因が一律に"libmono-winform2.0-cil"の問題であれば、2)で述べた ASUSWebStorage.deb と同様にインストール出来ないと思います。
しかし、全部がそうではないようなので、18.04でインストール出来る・出来ないは一概には判断出来ません。
　
また、質問者の方は
　"debファイルをダウンロードしてきて、それをファイルマネージャー(nautilus)からクリックしてインストールする"
をしている(またはそれが多い)ように推測されます。
その方法だと依存関係の解決が不完全でインストール出来ない場合があるようです。
　
ローカルにダウンロードしたdebファイルからインストールする場合、下記の記事を参考にしてインストールされたほうがいいかと思います。
　【Linux FAQ】.debファイルをダウンロードしたのですが、どうやってインストールすればいいですか？
　Ubuntu パッケージ管理 その1 - debパッケージ
　WindowsとLinux：ソフトウェア・インストールの違い
　
　
4)　ASUSWebStorage.deb に関する調査結果
　
ASUSWebStorage.deb について調べてみた結果、下記のことがわかっています。
a)　linux版のASUSWebStorageの実行ファイル名は、ASUSWebStorage.exe である
b)　.exeと付いているがWindowsアプリではなく、linuxのネイティブアプリでもなく、.NET Framework(mono) アプリである
c)　.NET Framework(mono) アプリなので、linux上で実行するには .NET Frameworkのlinux向け互換環境 mono が必要である
d)　ASUSWebStorageアプリは、.NET Framework(mono)の環境に関してバージョン2.0を予定しているが、現行のmonoが実現する .NET Frameworkのバージョンは4.0である
e)　ASUSWebStorageアプリのデスクトップエントリ(ショートカット)ファイルには、なぜか「ubuntu 10」を想定した記述がある
　
　
4-A)　実行ファイル単体取り出しと実行環境整備
　
通常、c)の部分はパッケージのインストール時に依存関係に従い自動的に整備されるのですが、実行ファイルを単体で取り出しておいて、c)の整備を手動でやるということは出来ないものではありません。
そう思って ubuntu 16.04 LTS (Xenial Xerus) 上でやってみたのですが……結果的にダメでした。
　
経過としては、最初 このレベル だったものを

　
このような問題 を経由しつつ

　
ここまで は持っていけました。

　
本来はここで画面が表示されるのではないかと思われますがなにも表示されませんでした。まだなにか不具合があるようです。
　
4-B)　ASUSWebStorage が想定する ubuntu のバージョンが古過ぎる可能性
　
e)のデスクトップエントリ(ショートカット)ファイルとはubnutuのデスクトップ上や画面左のランチャー上にアプリを登録するためのファイルになりますが、そのファイル aws-autostart.desktop の内容が次のようになっていました。

[Desktop Entry]
Name=ASUS WebStorage Sync
Exec=mono /usr/lib/ASUSWebStorage/ASUSWebStorage.exe
Type=Application
X-GNOME-Autostart-Delay=10
Icon=/usr/local/share/ASUSWebStorage/ASUS WebStorage.png
Comment= ASUS WebStorage Sync For Ubuntu 10
X-Ubuntu-Gettext-Domain=
Name[en_US]=ASUS WebStorage
Comment[en_US.UTF-8]=ASUS WebStorage Sync For Ubuntu 10

　
"ubuntu 10"って"Lucid Lynx"のことで、Desktopは2013/05に、Serverは2015/04に完全にサポート終了しています。
また、次の記事によると、12.04 LTS(Precise Pangolin)で「I downloaded and installed the Deb but nothing happens on launching. 」とあり、インストール自体は問題無く出来ていたように読めます。
　ASUS Webstorage 12.04
これらに、例の「libmono-winforms2.0-cil が ubuntu 14.04 LTS (Trusty Tahr)の頃のもの」を加えると、「ASUSWebStorage が想定する ubuntu のバージョンが古過ぎる」気がしてきます(本当のところは ASUS のサポートに直接確認しないと分かりませんが……)。
　
　
以上です。

rohizuka による投稿:

Ubuntu LTSは五年サポートですが、Lubuntu LTSは三年サポートですからLubuntu16.04は19年4月末でEoLです。

temm による投稿:

OSはLubuntu16.04です。

temm による投稿:

今日でサポートの切れたLubuntu16.04を、18.04LTSに更新すれば、アプリケーションのインストール全般において、改善をみこめるとお考えでしょうか？

　
当方が"L"一文字を見落としていました大変失礼いたしました。
　
　

rohizuka による投稿:

ASUSWebStorageについてですがUbuntu 10.04での動作を想定していて、10.04より後のリリースではインストール出来ない状態で改善はなく実質的にLinuxサポートは無いに等しい状態のようです。

やはりそんな状況でしたか……
　
ASUS CLOUD：WebStorage » Remote Drive » Feature requests » Support ubuntu 18.04 というトピックは既に見ていたんですが、
そこに
"I asked support, they indignantly said they only support 32-bit Linux, which is not used by anyone for at least a decade."
(サポートに問い合わせたら「32ビット Linux しかサポートしていない」と怒り口調で言われたが、そんなOSは少なくとも10年間誰も使っていないのだ)
というのがあって、"10年間云々……"はともかくも、linuxに対するASUSのサポートは手厚く無いのだろうとは推測してはいました。
　
　
関連で、Lubuntu 16.04 LTS ……派生distroのサポート期間について教えてください。
以前 Ubuntuの「ビデオ」アプリ(Totem)が落ちる というトピックで

#8:taka.zoo.n による投稿:

16.04 mate は 2019年4月で EOL になりますが、それは mate の package に限られます。16.04 armhf リポジトリにある canonical による package は 2021年4月までサポートされる、というのが私の理解です。具体的にどのパッケージが該当するかは ubuntu-support-status --show-supported で表示されます。このコマンドでは community support は 5 年と表示されますが、このうち mate によるものは 実際には3 年なのだと思います。

という ubuntu mate のサポート期間に関するご指摘を他の方からいただきました。
　
これに倣うと、Lubuntu 16.04 LTS のサポートも
・Lubuntu 16.04 LTS を構成するパッケージの内 canonical社によるパッケージ分のサポートは、ubutun 16.04 LTS 同様 2021年4月末まで
・それ以外の lubuntu 独自のパッケージのサポートは、前述の通りの2019年4月末まで
ということなんでしょうか？
それとも canonical社によるパッケージ分も含めて Lubuntu 16.04 LTS 全部が2019年4月末までのサポートなんでしょうか？
　
このトピックを起こしたtemmさんも、Lubuntu 16.04 LTS から Lubuntu 18.04 LTS への乗り換えの点で canonical社の分だけはサポートが続くのか、それとも全部サポートから外れるのかは、気にかかるところだと思います。
他のトピックの他の方の発言を絡めてしまって申し訳ないですが、詳しいことをもしご存知ならお教えください。
　
　
以上です

temm による投稿:

それと関係するのかどうかわかりませんが、Lubuntu16.04LTSを入れたPCが、急にログインループを生じるようになりました。
Ctrl＋Alt+F1でターミナルに入れ、ログインはできるようですが、Ctrl+Alt+F7でGUIに戻ると、ログイン画面に戻ってしまい、ログインループとなります。

この件は別トピックを起こさないと、質問者が困っていることが埋もれてしまって回答が付きにくいと思います。
(多くの場合トピックのタイトルを見て「これならわかる！」という方が答えてくだされているのでしょうから)
　
それはそれとして別途トピックを起こしていただくとして……
　
Lubuntu 16.04 だと、GUIログインを司っているディスプレイマネージャーは lightDM か LXDM だと思われるので
・ /var/log/lightdm/lightdm.log
・ /var/log/lxdm.log
のログファイルを見れば、ログインループの原因や背景はわかると思います。
新しいトピックを起こした時にもこのログ情報を提示すれば、回答される方もし易いと思います。
　
　
以上です。

お二人のご返答に感謝します。
ログファイルの参照方法がわからないため、ログインループを回避するためもあり、18.04LTSは「ソフトウェアの更新 〉アップグレード」ではなく、「16.04と併存可能」を選んで新規インストールしました。
「ソフトウェアの更新」を行ったうえで、NixNoteをChromium経由でDLし、パッケージインストーラーを使ういつもの方法でインストールしようとしました。
しかし、赤字で｢依存関係が満たされていない：libpng 12-0 がない｣と出てパッケージインストールボタンを押せない状態となりました。
このアプリは、16.04では同じ方法で｢依存関係が満たされています｣と表示され、問題なくインストールできていました。
NixNoteが求めるファイルが、18.04LTSの中にない状態だと思います。
ご助言いただければ幸いです。

ご返答ありがとうございます。
了解しました。