koukaforest による投稿:

1. デスクトップ画面上と「ファイル」（nautilus）で開いたフォルダーとの間でのファイル移動にドラッグ＆ドロップができません。

仕様です。18.04の頃はデスクトップ画面の機能はNautilusが提供していたので、デスクトップ←→Nautilus間のドラッグ＆ドロップが可能でしたが、20.04ではNautilusからその機能が削られ、GNOME Shell拡張機能によってデスクトップ画面が提供されており、デスクトップ←→Nautilus間のドラッグ＆ドロップが出来なくなっています。

koukaforest による投稿:

2. 「ファイル」で開いているフォルダーの中のスクリプトファイルはダブルクリックで実行できますが、デスクトップ画面上に置いてあるスクリプトをダブルクリックしても実行できません。スクリプトはpythonです。

私の環境では実行できてますね。
ちなみに確認したスクリプトはusb-creator-gtkというpython3のスクリプトで、「ブータブルUSBの作成」という名前のGUIアプリです。/usr/bin から ~/Desktop にコピーした後、ダブルクリックして実行しました。

2.　スクリプトの件を確認しました。結論は実行できていないと思っていたスクリプトも実行出来ていました。

　今まで「ファイル」（nautilus）の中で実行する場合は「端末で実行」を選択して実行していました。この場合端末上にprint文の出力が残り、input文で入力待ちになります。単に「実行」を選択するとprint文の表示は残らず、またinput文への入力待ちもなく終了します。
　なので、画面での表示・応答が必要なスクリプトはtkinterなどのGUIを使っていないと、画面での確認ができず、何も起きていないように見えました。
　お騒がせして申し訳ありませんでした。