具体的にはどの時点でなにのソフトの表示が文字化けしてますか?
日本語表示を期待したのに英字しか出ない?
英語動作を期待したのに日本語で動いてる?

.bashrc に記述したからbashのコマンドプロンプトの中は英語になります。

"13のアップデートはすぐに適用されます。
これらの更新の12は、標準のセキュリティ更新です。
これらの追加アップデートを確認するには次を実行してください: apt list --upgradable"

のような motd は ログインシェルが起動する直前に表示するので
localectl status
に設定されているシステムロケールの言語になります。

現在の端末の環境を教えてください。

printenv|egrep '(LANG|SHELL|TERM)='
tty

* 文字化けが発生するようになった。
* 「Ubuntuで文字化けしたときの対処法 │ TEAM T3A」の設定をした。
* 「case $TERM in ... esac」 を.bashrc に追記した。
時系列はどの順序ですか?

.bashrcの書き込みは何も効果は現れませんでしたか?

#3 masa6786 による投稿:

文字化けを起こしたのはログインした後のシェル等です。

"等"とは具体的には何ですか?

やりたいことはなんですか？
日本語を読めるようにしたい?
日本語が文字化けするから 英語表示にしたい?

#5 masa6786 による投稿:

1. 「Ubuntuで文字化けしたときの対処法 │ TEAM T3A」の設定を見て「case $TERM in…」を記述した

Ubuntuで文字化けしたときの対処法 │ TEAM T3A
https://www.t3a.jp/blog/infrastructure/ubuntu-text-garbled/
のページには「case $TERM in ... esac」の記述はありません。
別の時点で別の解説記事を読んで操作したと思われます。

#5 masa6786 による投稿:

編集に使用しているnanoのメニュー部分の間違いです。

LANG=C が効いていれば英語表示で文字化けはしないはずです。

LANG=ja_JP.UTF-8 のとき

                                   [ nano へようこそ。 Ctrl+G で簡単なヘルプが出ます。 ]
^G ヘルプ      ^O 書き込み    ^W 検索        ^K 切り取り    ^T コマンドを実^C 位置        M-U Undo       M-A マークを設置
^X 終了        ^R 読み込み    ^\ 置換        ^U 貼り付け    ^J 均等割付    ^/ 行を指定    M-E Redo       M-6 コピー

LANG=C のとき

                                    [ Welcome to nano.  For basic help, type Ctrl+G. ]
^G Help        ^O Write Out   ^W Where Is    ^K Cut         ^T Execute     ^C Location    M-U Undo       M-A Set Mark
^X Exit        ^R Read File   ^\ Replace     ^U Paste       ^J Justify     ^/ Go To Line  M-E Redo       M-6 Copy

#5 masa6786 による投稿:

・Apacheを運用しており、Webサイトの日本語表記ができるようにしたかった

webサーバーはコンテンツが何語か関知せずにただ8bitデータ列として送出します。
日本語フォントと結びつけて読める姿にレンダリングするのは受信するwebブラウザの仕事です。
サーバーOSのシステムロケールを変更する必要はありません。

#5 masa6786 による投稿:

シェルが全角文字に非対応という事を忘れていました

nanoもbashもUTF8の日本語を使えます。
対応してないのは /dev/tty1, … ,/dev/tty6 の仮想コンソール（Ubuntu Server
をインストールしたPC本体のCUI画面）です。英数字しか使えません。
コマンドライン作業で日本語を表示させたいときは、日本語の使えるターミナルソフトで
外からSSH接続等で使用します。