パッケージの件に関してはここの#6にある方法で解決できるかもしれません。ですが、頻繁に起こるとなると他に原因がありそうな気がするのですが、私にはわかりません。（ネットワーク関係かも）

あと、ひとつ気になったのですが、「bansheeインストール参照ＨＰ」を見たのですが、
「Banshee Media Player」に関しては詳細なインストール方法が載っているのですが、bansheeに関してはほとんど記載されていません。BansheeとBanshee Media Playerを勘違いしているということはありませんか？

書き忘れました。

syosinnsya様のご指摘通り、banshee　と　Banshee Media Player の勘違いでした。
（用途的には同じようなソフトみたいでしたので、インストール方法が記載されている
Banshee Media Playerなら自分でもインストールできると思いやってみたんですが、
いつものエラーでした。。。。）

すでに解決されているようですが、いくつか気になった部分があったので、補足させていただきます。

omnigod による投稿:

syosinnsya様のご指摘通り、banshee　と　Banshee Media Player の勘違いでした。
（用途的には同じようなソフトみたいでしたので、インストール方法が記載されている
Banshee Media Playerなら自分でもインストールできると思いやってみたんですが、
いつものエラーでした。。。。）

上記のサイトを見る限り、「banshee」と「Banshee Media Player」は「同じようなソフト」ではなく、同じものです。ただし、「banshee」のやり方は、Ubuntu公式のリポジトリから古いバージョン（0.13.2）のパッケージをインストールします。「Banshee Media Player」のやり方はUbuntu公式のリポジトリとは別の場所から、8月にリリースされたばかりの新しいバージョン（1.2.1）の非公式パッケージをインストールします。

omnigod による投稿:

dpkg: /var/cache/apt/archives/banshee-1_1.2.1-2~hardy1_i386.deb の処理中にエラーが発生しました (--unpack):
壊れているファイルシステム上の tar ファイル - パッケージアーカイブが壊れています

というのは、ご推察のとおり、debファイルをダウンロード失敗しただけじゃないでしょうか。
sudo apt-get update
sudo apt-get clean
sudo apt-get install banshee-1
で、いけると思います（手順2、3と同じです）。

「似たエラーが頻発します」という問題ですが、お使いのミラーサーバ（システム＞システム管理＞ソフトウェア・ソースから「ダウンロード元」を「日本のサーバ」にしておくと良いでしょう）、ネットワーク環境、そして何よりハードディスクが原因と考えられます。

いろいろ調べてみたら、fsck（ファイル・システムの検査・修復を行う）というコマンドがあるみたいで、
ハードディスクをチェックするために、ターミナルより$ sudo fsckのコマンドを実行しました。

結論から言いますと、見事ubuntuが起動しなくなりました。

***************************************************************
fsck 1.40.8 (13-Mar-2008)
e2fsck 1.40.8 (13-Mar-2008)
/dev/sda1 is mounted. 

WARNING!!!  Running e2fsck on a mounted filesystem may cause
SEVERE filesystem damage.

Do you really want to continue (y/n)? yes

/dev/sda1: recovering journal
/dev/sda1 contains a file system with errors, check forced.
Pass 1: Checking inodes, blocks, and sizes

Inodes that were part of a corrupted orphan linked list found.  Fix<y>? yes

Inode 1606971 was part of the orphaned inode list.  FIXED.
Inode 1611378 has illegal block(s).  Clear<y>? yes

Illegal block #14 (1206660304) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #15 (1221084289) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #16 (1206660304) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #37 (826947202) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #46 (1206660304) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #47 (1221084289) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #48 (1206660304) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #69 (826947203) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #78 (1206660304) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #79 (1221084289) in inode 1611378.  CLEARED.
Illegal block #80 (1206660304) in inode 1611378.  CLEARED.
Too many illegal blocks in inode 1611378.
Clear inode<y>? yes

＜＜＜中略＞＞＞

Inode 1638430, i_size is 18446744073709551615, should be 0.  Fix<y>? yes

Inode 1638430, i_blocks is 4294967295, should be 0.  Fix<y>? yes

Inode 1638431 has compression flag set on filesystem without compression support.  Clear<y>? yes

Inode 1638431 has INDEX_FL flag set but is not a directory.
Clear HTree index<y>? yes

Inode 1638431, i_size is 18446744073709551615, should be 0.  Fix<y>? yes

Inode 1638431, i_blocks is 4294967295, should be 0.  Fix<y>? yes

Inode 1638432 has compression flag set on filesystem without compression support.  Clear<y>? yes

Inode 1638432 has INDEX_FL flag set but is not a directory.
Clear HTree index<y>? yes

Inode 1638432, i_size is 18446744073709551615, should be 0.  Fix<y>? yes

Inode 1638432, i_blocks is 4294967295, should be 0.  Fix<y>? yes
***************************************************************

なんとなくやばそうな気はしましたが、上記のようにすべてyesで回答したところ
再起動時、ファミコン並に画面がバグってしまいました。

＊再起動後、ubuntuのロゴが出てくるところで、ディスクチェックが入るようになって
必ず、67%でfailedのエラーがでました。

修復は厳しそうなので、クリーンインストールし直すことにします。

今後の為に、どういう理由で起動できなくなってしまったか、上記ログでわかる方ご教授お願いいたします。