回答有難うございました。
ご紹介頂いたリンク先の操作を行い、変更することができました。
この変更が効いたのか、１００個近いアップデートファイルがダウンロードされました。
しかし依然として下記の通りの似たようなメッセージが表示されます；

http://packages.medibuntu.org/gutsy/dists/free/non-dree/binary-i386/Packages.gz の取得に失敗しました  404 Not Found [IP: 88.191.82.11 80]
cdrom:[Ubuntu 8.04 _Hardy Heron_ Japanese Remix - Release i386 (20080425)]/dists/hardy/main/binary-i386/Packages.gz の取得に失敗しました  この CD-ROM を APT に認識させるには apt-cdrom を使用してください。新しい CD-ROM を追加するために apt-get update は使用できません。
cdrom:[Ubuntu 8.04 _Hardy Heron_ Japanese Remix - Release i386 (20080425)]/dists/hardy/restricted/binary-i386/Packages.gz の取得に失敗しました  この CD-ROM を APT に認識させるには apt-cdrom を使用してください。新しい CD-ROM を追加するために apt-get update は使用できません。
いくつかのインデックスファイルのダウンロードに失敗しました。これらは無視されるか、古いものが代わりに使われます。

サーバの変更だけでは駄目なのでしょうか。
お手数をおかけしますが、また回答を宜しくお願いします。

回答有難うございました。
ご指定の方法にしたがって操作した結果、ダウンロードが進行したのですが、最後に次のようなメッセージが表示されました；

http://packages.medibuntu.org/gutsy/dists/free/non-dree/binary-i386/Packages.gz の取得に失敗しました  404 Not Found [IP: 88.191.79.39 80]
いくつかのインデックスファイルのダウンロードに失敗しました。これらは無視されるか、古いものが代わりに使われます。

こちらからサーバを指定したらできるかと思い、上記の方法でサーバを変えてみたのですが、効果はないようです。（当然なのかもしれませんが・・・）
お手数ですが、また対策をお願いします。

回答有難うございました。

ご指定のコマンドを入力した結果、端末上で、

(これ以前略)
パッケージリストを読み込んでいます... 完了
W: GPG error: http://ubuntu-ashisuto.ubuntulinux.jp hardy-updates Release: 以下の署名が無効です: BADSIG 40976EAF437D05B5 Ubuntu Archive Automatic Signing Key <[email protected]>
W: これらの問題を解決するためには apt-get update を実行する必要があるかもしれません

というメッセージが表示されました。
「署名が無効」ということなので、このキーワードで検索し、似たような症状に遭遇した方の解決策にならってサーバを替えてみました。
替えたサーバでアップデートしてみたところ、

W: GPG error: http://ubuntu-ashisuto.ubuntulinux.jp hardy-updates Release: 以下の署名が無効です: BADSIG 40976EAF437D05B5 Ubuntu Archive Automatic Signing Key <[email protected]>

とまた同じ「以下の署名が無効です」というメッセージがでたので、もう一度サーバを替えてみました。
替えたサーバでアップデートしてみたところ、

W: GPG error: http://ftp.ecc.u-tokyo.ac.jp hardy-updates Release: 以下の署名が無効です: BADSIG 40976EAF437D05B5 Ubuntu Archive Automatic Signing Key <[email protected]>
W: GPG error: http://ftp.ecc.u-tokyo.ac.jp hardy-security Release: 以下の署名が無効です: BADSIG 40976EAF437D05B5 Ubuntu Archive Automatic Signing Key <[email protected]>

とまたまた同じメッセージがでたので、もう一回サーバを替えてみました。
替えたサーバでアップデートしてみたところ、今度は何もエラーメッセージらしきものは表示されず、システムが最新の状態で、１時間以内に更新された旨のメッセージが表示されました。
どうにか解決したようです。
丁寧なご指導を頂き、有難うございました。

以下は新たなトラブルではないのですが、よろしければちょっと教えてください。
１．私の方でコピーしたエラーメッセージに関してですが、'gusty'が旧バージョンのものとは知りませんでした(8.04から始めたので)。他の「(8.04以降から始めた)初心者」の方々がこうした文字列を見て、どれがバージョンを反映した名前のもので、そのどれが現行バージョンでどれが旧バージョンかすぐにわかるのでしたら、どういうところを見てそうした知識を得ているのでしょうか。私も遅まきながら勉強させて頂きたいと思いますので、参照先をお知らせ頂けると助かります。（私だけ「初心者の常識」が欠けていると問題なので・・・）
２．なお、Ubuntuを8.04から使っているのは私だけではないはずなので、おそらく他の多くの方々も同様なトラブルに遭遇されているのではないかと思います。というもの、アップデートする際、アクセス先のレポジトリを意識して入力することがない（というより、入力の余地がない）ので、他の方々も知らないうちに旧バージョンにアクセスし、エラーメッセージが出たのを見て初めてそれと知ることになるのではないかと思います。アップデートする際にレポジトリのバージョンが指定できないのであれば、アップデートする際にOSとして自バージョンに合ったものにアクセスするように、最初からソフトを組んでおく必要があるのではないかと思いました。それが実際に（少なくとも私の場合には）そうなっていないようなのですが、そのようにしてあるのは何か理由があるのでしょうか。
今回のトラブルとは直接関係がないかもしれませんが、ちょっと関心があります。

回答有難うございました。
バージョンの確認方法の件、ご紹介頂きました参照先でよくわかりました。
またレポジトリの追加に関しても、ご指摘のような制限があることは認識していませんでした。標準外のものであれば、標準のもののような考慮がなされていないことは理解できます。そのあたりのことをほとんど無頓着に操作していました。
有難うございました。今後同様な操作が発生した場合には注意します。

回答有難うございました。こちらこそ表現に穏当を欠いているところがあったようで申し訳ありません。
私はUbuntuを始めてまだ1年にも満たない未熟者ですが、それでも最初の頃は「Ubuntuとはそもそもどういうものか」という素朴な疑問から、本フォーラムで初心者向けページを探してはあちこち覗いて見たことがあります。隅から隅までとはとても言えませんが、基本的なことはある程度は（なんとなく）理解したつもりでした（この「ある程度」が曲者なのでしょうが）。
ただ、まだ不慣れなところが多くて何が何だか訳がわからず、そのため何が重要で何が補足的な情報なのかも区別がつかず、その結果それまでに読み知った情報を必要なときにさっと取り出して目の前の事態と結びつけることができないという、何とも情けない状態になっています。

このフォーラムではのんきさんを始め多くの方々にお世話になってるので、その経験を生かして今度は私が同様なトラブルに遭遇した人の手助けになれればと思いながらUbuntuに向き合っています。（もっとも、私みたいな人間がしゃしゃり出ては返って混乱を招きかねないので、当分おとなしくしていた方が世のためかとも思っています。）
今後も色々お世話になることが多いと思いますが、どうか宜しくお願い致します。