*.cgiの拡張子による実行は、特に、(CGIを含めた)他の拡張子の定義とは区別して考えた方が良いかと思います。
# １行目って・・・これで大丈夫なんでしたっけ？もしあるなら、調査(考慮)する対象を少なくする為に動作実績のあるファイルを用いることをお勧めします。
　とくに、１行目の#!/usr/bin/sh等をを用いて実行するのであれば、コマンドプロンプトから(相対パス、もしくは、絶対パスで)ファイルを指定して、実行できる必要性があります(sh hogehogeとか、perl hogehogeと、処理するコマンドをつけずに)
# *.cgiの拡張子には、apacheに対して、「何かよくわからないけど、実行できるはずのファイル」という情報しか定義していないはずです。なので、上記のようにunixの標準的な実行に関するパーミッションがチェックされます。*.phpや、*.plの定義の場合、大抵、それぞれの拡張子にはmod_phpで処理する　とか、mod_perlで処理する　とか、定義していると思います。と、すると、ファイルのパーミッションのチェックは各モジュールで行われます。

で、今回の件は、やはり、ファイルのパーミッションだと思うところです。

なお、パーミッションは最終的には、必要な権限のみを与えるようにしてください(ローカル環境ではなく、プロバイダを利用する場合は、プロバイダの指示に従ってください)

kazu53000 による投稿:

sudo gedit /etc/apache2/apache2.conf
でServerRoot "/etc/apache2"　→ServerRoot "/var/www"

まずここが間違い
Apache2 の解説書などを入手して、ServerRoot で何を設定しているのかを調べ直しましょう

なお、html ファイルなどの公開ファイルを保存するディレクトリは、/etc/apache2/sites-enabled/000-default ファイルの中で DocumentRoot /var/www/ として設定されてます
ちなみに CGI のためのディレクトリも /etc/apache2/sites-enabled/000-default ファイルの中で ScriptAlias /cgi-bin/ /usr/lib/cgi-bin/ が設定されてます

kazu53000 による投稿:

次はcgiなんですが。
デフォルトのままなので、/usr/lib/cgi-bin　に

#!/usr/lib/cgi-bin/

print "Content-Type: text/html\n\n";

print "\n";
print "\n";
print "ようこそ！
\n";
print "\n";
print "\n";

index.cgiとして保存し

index.cgi を CGI で動かすときの言語は何を使っているつもりですか？
PHP などのスクリプト言語だと予想しますが、そうであれば一行目はその言語インタープリタを起動するためのパスを書かなくてはなりません
#!/usr/lib/cgi-bin/ という言語インタープリタは存在しませんよね

AcriptAlias で指定されたディレクトリに CGI のためのプログラムを置く場合、そのプログラムを単体で直接実行して、正しく動作しないといけません
作成した index.cgi ファイルを直接実行して、正しく動作するかを確認することから始めてください
正しく動作するまでは、いくら apache2 の設定を弄ろうとも無意味です