エラーメッセージの復旧作業は完了している様ですね。
パネルを入れ替えてみたらどうでしょうか、端末からは起動するのでしょうか。
$ synaptic
$ firefox
の結果を。

$ sudo apt-get remove gnome-panel
再ログイン or 再起動
$ sudo apt-get install gnome-panel

fsckの後遺症ですがlost+foundフォルダから生きているファイルを拾い出すよりは一つずつアンインストールと再インストールを行う方が早そうです。

ソフトウェアに関してはそれでいいですがファイルシステムについてはfsckがしくじったものを見つけ出す知識は無いので別の助けを待つか、必要なデータを退避させて再インストール、、、力になれなくてもうしわけないです。

前回のクラッシュから、再インストールで新しい環境になりました。が、
また、ブランクスクリーンからの復帰でクラッシュしたようで、

前回より少し軽いですが、またおかしくなってしまいました。

（現在の状況は、電源OFFをメニューから選ぶと、とたんにフリーズ状態となり、
Alt+PrintScreen+R+S+E+I+U+Oが効く場合もあれば、
ダメな時もあります。他はとりあえず大丈夫なようです。
壁紙も単色に切り替えて、パネルもシンプルにしておいたのに・・）

他のPCにもubuntuをインストールして使用していますが、
このクラッシュしたPCよりもスペックが低いにも関わらず、
大きなトラブルはありません。

これは、
ハードウェアの問題なのか、ubuntuとの相性？の問題なのか
原因がわかれば、と考えているのですが、

何か調べる方法ってあるのでしょうか？

クラッシュしたPCは、マウスコンピュータの
COM-AD1000Dという古い機種。

duron 1G メモリーは512×2にしてあり、
グラボなどは付けてません。

先ほど、シャットダウンをさせようと、メニューから選択したら、
勝手に再起動してから、

「Greeterプログラムがクラッシュしたようです。別のプログラムを起動してみます。」
という表示が出たままフリーズしました。

どうしてもキー入力が出来ませんでしたので、電源ボタンを押して起動しましたが、
OSが定期的？に行ってくれるファイルチェックで自動的にfsckを実行してくれたようで
（フォーラムを参考に、起動時にカーネルメッセージを表示するようにしていましたので・・）

何やらファイルがfail？と赤い文字で表示されていました。
どこかが破損したのは間違いないようです。

ほかのPCは平気なのに、このPCだけダメなんです。

なので、ハードの仕様が原因なのか、それともPCのどこかが壊れているのか、
またはubuntuとの相性なのか、判断しかねています。

hiroさま、
＞このトラブルはext3からジャーナリングシステムの強化で少なくなったと有りますが、クラッシュの原因は＞「ブランクスクリーンからの復帰」と「電源が急に落ちる」の類似性を踏まえて電源の管理から休止やその＞他の設定を触ってみてはどうでしょうか。

うーん、特別いじってないんです。

どちらにしろ再インストールとなりそうですが、
このままだと、又クラッシュしてしまう可能性大なので、

少し他のOS（KNOPPIXあたり）を入れてPCの様子を見てみようと思います。

zx228さま、書き込みありがとうございます。

PCのハード検証のため、knoppixを入れてみて
動作確認している最中です。（壊れていないか確認中）

その後またubuntuを入れて使うつもりです。

リカバリーの考え方としては、（GUI)を削除して新たに
インストールしなおす、ということですよね。

CUI は少し不安ですけど・・