特に目的があって ubuntu をルーターにしたいというのでなければ、#2 でのんきさんも述べられてるようにルーター機を購入する方が良いと思います

その上で敢えて回答するとしても、最低限以下の情報が不足しています
- ルーター動作させようとしている ubuntu の二枚の NIC のそれぞれに割り当てた IP アドレス
- 従来のネットワークのデフォルトゲートウェイである 192.168.1.1 の機器に登録されている経路情報
- DHCP で IP アドレスを割り当てられた PC に、実際に割り当てられた IP アドレスと経路情報


ところで、以下のように記されていますが、「/100」はどのような意味で使っているのか教えてください

hannahannaさん による投稿:

従来あるネットワーク（192.168.1.0/100） ...
... 今回ubuntuの下に新たなネットワーク（192.168.0.0/100）

一般に IP アドレスに続く「/n」はサブネットマスクのビット数を表し、n は 0 から 32 の範囲になります

hannahannaさん による投稿:

「経路情報」とは、gateway のほかにどのような情報をさすのでしょうか？

あるネットワークセグメントが、どのルーターを越えた先にあるのかを定義したものです


    [seg A]  ---- Router 1 ---- [seg B] ---- Router 2 ---- [seg C] ---- Router 3 ---- [seg D]

上のような構成のネットワークがあると仮定したとき、Router 1 の経路情報には、seg C や seg D といったネットワークは Router 2 を越えた先にあるという情報が登録されている必要があります (これ以外に Router 1 には seg A や seg B が自身に直接接続されているという経路情報も登録されている)
このような経路情報が正しく登録されていないと、ルーターを越えた通信は成り立ちません

hannahanna による投稿:

以前まで、従来あるネットワーク（192.168.1.0/100）に接続して利用しておりました。
今回ubuntuの下に新たなネットワーク（192.168.0.0/100）を作るため、ネットワークインターフェイスを増設し、DHCPサーバとルータを兼ねて利用したいと思っています。
DHCPサーバの機能は動いているようで、ubuntuにぶらさがるPCに、IPの割り振りは行われています。
しかしそこから、従来のネットワークのディフォルトゲートウェイ（192.168.1.1）へのPingが届きません。

hannahanna による投稿:

・ubuntuの2枚のNICのIP
eth0:192.168.1.22
eth1:192.168.0.1

．DHCPで割り当てられる情報
ip:192.168.0.10～20
gateway:192.168.0.1(上記のeth1)

・従来のネットワークのデフォルトゲートウェイである 192.168.1.1 の機器に登録されている経路情報
すみません、今すぐはわかりかねます。管理者に問い合わせてみます。

文面上「ubuntuマシンに192.168.1.22が管理者から割り当てられていて、そのubuntuマシン配下に別ネットワーク(192.168.0.0)を作って、そのネットワークからも外部へアクセスしたい」という気がしますが、いかがでしょう?

フォワード設定をしてみたものの、192.168.1.1が192.168.0.0な別ネットワークに対してのルーティング情報を持っていないため、届いているけどどこに返すかわからないので応答できない/していない気がします。
判断するにはeth0側でtcpdumpとかして通過しているパケットを解析するとかの手があると思います。

この推測が当たっていれば
1)  192.168.1.1に192.168.0.0への応答が行われるようにルーティングを追加してもらう
2) iptablesでNATして192,168.0.0のネットワーク機器から外部のネットワークに出る場合には192.168.1.22として扱われるようにする
のどちらかな気がしますが、まずはネットワーク管理者の方へのこういう接続の許可等があるかを気にしてみてください。

意外とこういうネタは管理者は気にする人種ですので。